Question

已知直角梯形OABC在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，AB∥OC，AB=10，OC=22，BC=15，動點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒一個單位長度的速度沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動，同時動點(diǎn)N從C點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿CO向O點(diǎn)運(yùn)動．當(dāng)其中一個動點(diǎn)運(yùn)動到終點(diǎn)時，兩個動點(diǎn)都停止運(yùn)動．
（1）求B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)運(yùn)動時間為t秒；
①當(dāng)t為何值時，四邊形OAMN的面積是梯形OABC面積的一半；
②當(dāng)t為何值時，四邊形OAMN的面積最小，并求出最小面積；
③若另有一動點(diǎn)P，在點(diǎn)M、N運(yùn)動的同時，也從點(diǎn)A出發(fā)沿AO運(yùn)動．在②的條件下，PM+PN的長度也剛好最小，求動點(diǎn)P的速度．

Answer 1

分析：（1）由題意可以先構(gòu)造矩形OABD，然后根據(jù)勾股定理進(jìn)行求解；
（2）是動點(diǎn)型的題要設(shè)好未知量：
①AM=t，ON=OC-CN=22-2t，根據(jù)四邊形OAMN的面積是梯形OABC面積的一半，列出等式求出t值；
②設(shè)四邊形OAMN的面積為S，用t表示出四邊形OAMN的面積，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求出最值；
③由題意取N點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)N′，連接MN′交AO于點(diǎn)P，此時PM+PN=PM+PN′=MN長度最小，表示出點(diǎn)M，N，N′的坐標(biāo)，設(shè)直線MN′的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，最后待定系數(shù)法進(jìn)行求解．

解答：解：（1）作BD⊥OC于D，
則四邊形OABD是矩形，
∴OD=AB=10，
∴CD=OC-OD=12，
∴OA=BD=

BC2-CD2

=9，
∴B（10，9）；

（2）①由題意知：AM=t，ON=OC-CN=22-2t，
∵四邊形OAMN的面積是梯形OABC面積的一半，
∴

1

2

(t+22-2t)×9=

1

2

×

1

2

(10+22)×9，
∴t=6，
②設(shè)四邊形OAMN的面積為S，則s=

1

2

(t+22-2t)×9=-

9

2

t+99，
∵0＜t≤10，且s隨t的增大而減小，
∴當(dāng)t=10時，s最小，最小面積為54．
③如備用圖，取N點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)N′，連接MN′交AO于點(diǎn)P，
此時PM+PN=PM+PN′=MN′長度最�。�
當(dāng)t=10時，AM=t=10=AB，ON=22-2t=2，
∴M（10，9），N（2，0），
∴N′（-2，0）；
設(shè)直線MN′的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，則

10k+b=9 -2k+b=0

，
解得

k= 3 4 b= 3 2

，
∴P（0，

3

2

），
∴AP=OA-OP=

15

2

，
∴動點(diǎn)P的速度為

15

2

÷10=

3

4

個單位長度/秒．

點(diǎn)評：此題是一道綜合題，難度比較大，考查了勾股定理的應(yīng)用和待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，動點(diǎn)型的題是中考的熱點(diǎn)，平時要多加練習(xí)，注意熟悉這方面的題型．