精英家教網(wǎng)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知直角梯形OABC,BC∥OA,A(20,0),C(0,4
3
),∠BOC=30°,點(diǎn)P在線段AO上運(yùn)動(dòng),以點(diǎn)P為圓心作⊙P,使⊙P始終與AB邊相切,切點(diǎn)為Q,設(shè)⊙P的半徑為x,五邊形OPQBC的面積為S.
(1)求點(diǎn)B坐標(biāo);
(2)求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)求出(2)中x的取值范圍;
(4)當(dāng)x為何值時(shí),⊙P與AB、OB都相切.(要求直接寫出結(jié)果)
分析:(1)在Rt△BCO中,利用含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得BC=
3
3
×4
3
=4,即可得到B點(diǎn)坐標(biāo);
(2)過B作BE⊥OA于E,根據(jù)切線的性質(zhì)得到PQ⊥AB,易證Rt△APQ∽R(shí)t△ABE,利用相似比可表示出AQ=
4
3
3
x,再根據(jù)S=梯形ABCO的面積-三角形APQ的面積即可得到
S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)過B作BF⊥AB交OA于F,求出x的最大值即BF的長,易得∴Rt△ABE∽R(shí)t△AFB,利用相似比可求出BF,即可得到x的取值范圍;
(4)根據(jù)切線的性質(zhì)得到點(diǎn)P到BO和BA的距離都等于x,再利用S△PBO+S△PBA=S△ABO可關(guān)于x的方程,解方程即可.
解答:解:(1)∵BC∥OA,C(0,4
3
),∠BOC=30°,
∴OC=
3
BC,
∴BC=
3
3
×4
3
=4,
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,4
3
);

(2)過B作BE⊥OA于E,如圖,精英家教網(wǎng)
∵⊙P與AB邊相切,
∴PQ⊥AB,
∴Rt△APQ∽R(shí)t△ABE,
∴AQ:AE=PQ:BE,即AQ:16=x:4
3
,
∴AQ=
4
3
3
x,
∴S=
1
2
(4+20)•4
3
-
1
2
•x•
4
3
3
x
=-
2
3
3
x2+48
3
;

(3)AB=
BE2+AE2
=
(4
3
)
2
+162
=4
19
,
過B作BF⊥AB交OA于F,如圖,
∴Rt△ABE∽R(shí)t△AFB,
∴BF:BE=AB:AE,即BF:4
3
=4
19
:16,
∴BF=
57

∴x的取值范圍為0<x≤
57
;

(4)OB=2BC=8,
∵⊙P與AB、OB都相切,
∴點(diǎn)P到BO和BA的距離都等于x,
而S△PBO+S△PBA=S△ABO,
1
2
•x•8+
1
2
•x•4
19
=
1
2
•4
3
•20,
∴x=
4
57
-8
3
3
點(diǎn)評(píng):本題考查了切線的性質(zhì):圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.也考查了直角梯形的性質(zhì)、含30°的直角三角形三邊的關(guān)系、三角形的面積公式以及三角形相似的判定與性質(zhì).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),但是點(diǎn)P不與點(diǎn)0、點(diǎn)A重合.連接CP,D點(diǎn)是線段AB上一點(diǎn),連接PD.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
5
8
,求這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•渝北區(qū)一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)xoy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心,3為半徑畫圓,從此圓內(nèi)(包括邊界)的所有整數(shù)點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù))中任意選取一個(gè)點(diǎn),其橫、縱坐標(biāo)之和為0的概率是
5
29
5
29

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)中,等腰梯形ABCD的下底在x軸上,且B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),則AC長為
5
5

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)xOy中,已知點(diǎn)A(-5,0),P是反比例函數(shù)y=
k
x
圖象上一點(diǎn),PA=OA,S△PAO=10,則反比例函數(shù)y=
k
x
的解析式為( 。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OC=AB=4,BC=6,∠COA=45°,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),在梯形OABC的邊上運(yùn)動(dòng),路徑為O→A→B→C,到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止.作直線CP.
(1)求梯形OABC的面積;
(2)當(dāng)直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時(shí),求直線CP的解析式;
(3)當(dāng)△OCP是等腰三角形時(shí),請(qǐng)寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)(不要求過程,只需寫出結(jié)果).

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