Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一直角三角形AOB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA＝1，tan∠BAO＝3，將此三角形繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DOC，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C．

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；

(2)若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為t，設(shè)拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸l與x軸交于一點(diǎn)E，連接PE，交CD于F，求以C、E、F為頂點(diǎn)三角形與△COD相似時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線(xiàn)的解析式為y=﹣x2﹣2x+3；（2）當(dāng)△CEF與△COD相似時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，4）或（﹣2，3）．

【解析】

（1）根據(jù)正切函數(shù)，可得OB，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得△DOC≌△AOB，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

（2）分兩種情況討論：①當(dāng)∠CEF＝90°時(shí)，△CEF∽△COD，此時(shí)點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸上，即點(diǎn)P為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)；②當(dāng)∠CFE＝90°時(shí)，△CFE∽△COD，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于M點(diǎn)，得到△EFC∽△EMP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得PM與ME的關(guān)系，解方程，可得t的值，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案．

（1）在Rt△AOB中，OA＝1，tan∠BAO3，∴OB＝3OA＝3．

∵△DOC是由△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°而得到的，∴△DOC≌△AOB，∴OC＝OB＝3，OD＝OA＝1，∴A，B，C的坐標(biāo)分別為（1，0），（0，3），（﹣3，0），代入解析式為

，解得：，拋物線(xiàn)的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）∵拋物線(xiàn)的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3，∴對(duì)稱(chēng)軸為l1，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），如圖，分兩種情況討論：

①當(dāng)∠CEF＝90°時(shí)，△CEF∽△COD，此時(shí)點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸上，即點(diǎn)P為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，P（﹣1，4）；

②當(dāng)∠CFE＝90°時(shí)，△CFE∽△COD，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于M點(diǎn)，∵∠CFE=∠PME=90°，∠CEF=∠PEM，∴△EFC∽△EMP，∴，∴MP＝3ME．

∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，∴P（t，﹣t2﹣2t+3）．

∵P在第二象限，∴PM＝﹣t2﹣2t+3，ME＝﹣1﹣t，t＜0，∴﹣t2﹣2t+3＝3（﹣1﹣t），解得：t1＝﹣2，t2＝3（與t＜0矛盾，舍去）．

當(dāng)t＝﹣2時(shí)，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，∴P（﹣2，3）．

綜上所述：當(dāng)△CEF與△COD相似時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，4）或（﹣2，3）．