Question

如圖，在△ABC中，D是邊AC上一點(diǎn)，且BD=BC，點(diǎn)E、F分別是DC、AB的中點(diǎn)．求證：
（1）EF=

1

2

AB；
（2）過A點(diǎn)作AG∥EF，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則BE=GE．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形中位線定理,等腰三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線

專題：證明題

分析：（1）連接BE，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BE⊥AC，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF=

1

2

AB；
（2）求出AF=EF，再根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠AEF=∠EAF，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠AEF=∠EAG，從而得到∠EAF=∠EAG，然后利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BE=GE．

解答：（1）證明：如圖，連接BE，
∵BD=BC，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，
∴BE⊥AC，
∵點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，
∴EF=

1

2

AB；

（2）解：∵AF=EF=

1

2

AB，
∴∠AEF=∠EAF，
∵AG∥EF，
∴∠AEF=∠EAG，
∴∠EAF=∠EAG，
又∵BE⊥AC，
∴BE=GE（等腰三角形三線合一）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．