【題目】在平面直角坐標系xOy中,⊙C的半徑為r,P是與圓心C不重合的點,點P關(guān)于⊙C的發(fā)散點的定義如下:若在射線CP上存在一點P′,滿足CPCP′3r,則稱P′為點P關(guān)于⊙C的發(fā)散點.下圖為點P及其關(guān)于⊙C的發(fā)散點P′的示意圖.特別地,當點P′與圓心C重合時,規(guī)定CP′0.

根據(jù)上述材料,請你解決以下問題:

1)當⊙O的半徑為1時,

①在點關(guān)于⊙O的發(fā)散點的是點 ;其對應(yīng)發(fā)散點的坐標是 ;

②點P在直線上,若點P關(guān)于⊙O的發(fā)散點P′存在,且點P′不在x軸上,求點P的橫坐標m的取值范圍;

2)⊙C的圓心Cx軸上,半徑為1,直線x軸、y軸分別交于點A,B.若線段AB上存在點P,使得點P關(guān)于⊙C的發(fā)散點P′在⊙C的內(nèi)部,請直接寫出圓心C的橫坐標n的取值范圍 .

【答案】1N,T ,(0,0);(2<m<3.

【解析】

(1)①根據(jù)發(fā)散點的定義依次進行判斷即可;②由OP≤3r=3,得出OP2≤9,設(shè)P(m,),由勾股定理得出OP2=m2+(2=4m2-18m+27≤9,解不等式得出≤m≤3.再分別將m=與3代入檢驗即可;
(2)先由已知條件求出A(9,0),B(0,3),則,∠OBA=60°,∠OAB=30°.再設(shè)C(n,0),分兩種情況進行討論:①C在OA上;②C在A點右側(cè).

解:(1)①設(shè)點M3,1)的發(fā)散點為M’,則根據(jù)發(fā)散點的定義可得:OM+OM’=3,

OM==,

OM’=3-<0.

故不符合題意,點M3,1)不存在關(guān)于⊙O的發(fā)散點.

同理可求得:設(shè)點N關(guān)于⊙O的發(fā)散點為N’,則

ON+ON’=3,

∴ON’=3-=

∴點N關(guān)于⊙O的發(fā)散點N’的坐標為;

設(shè)點T(2,1) 關(guān)于⊙O的發(fā)散點為T’,

則OT+OT’=3,

∴OT’=3-=0

∴點T(2,1) 關(guān)于⊙O的發(fā)散點為T’的坐標為(0,0)

故答案為:N,T ,(00);

設(shè)點P的坐標為(m,),

OP3,

≤9.

+≤9

整理得:-≤0

解得:≤m≤3.

又∵點P不在軸上,

∴點P的橫坐標m的取值范圍<m<3;

(2)令y=0,則,解得x=9,

A的坐標為(9,0

x=0,則y=3

∴點B的坐標為(0,3.

,

∴∠OBA=60°,∠OAB=30°.

設(shè)C的坐標為(n,0)

當點C在OA上時,作CD⊥AB于D,則

CD≤CP≤3r=3

∴AC=2CD≤6

∴9-n≤6解得n≥3

當點C在點A右邊時,AC的最大值為3.

∴C的橫坐標n≤12.

綜上所述,圓心C的橫坐標的取值范圍是≤m≤3.

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(3)連接CC1,試猜想∠BCC1為多少度,并證明你的猜想.

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(1)問題發(fā)現(xiàn)當α時,_____;β_____°

(2)拓展探究

試判斷:當0°≤α360°時,β的大小有無變化?請僅就圖2的情形給出證明.

(3)在△ADE旋轉(zhuǎn)過程中,當DEAC時,直接寫出此時△CBE的面積.

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(3)如圖2,把正方形ABCD改為菱形ABCD,其他條件不變,當ABC=120°時,連接CE,試探究線段AP與線段CE的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

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2)如圖2,已知⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD是奇妙四邊形,若⊙O的半徑為6,∠ BCD=60°.求奇妙四邊形ABCD的面積;

3)如圖3,已知⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD是奇妙四邊形作OMBCM.請猜測OMAD的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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