【題目】如圖,一次函數(shù)y=-x+b的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B,線段AB的中點(diǎn)為D32).將AOB沿直線CD折疊,使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合,直線CDx軸交于點(diǎn)C

1)求此一次函數(shù)的解析式;

2)求點(diǎn)C的坐標(biāo);

3)在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)P(除點(diǎn)C外),使得以A、DP為頂點(diǎn)的三角形與ACD全等,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(1)一次函數(shù)解析式為y=-x+4.2C,0);3P1,4);P2-2);P3,2).

【解析】

試題分析:1)根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì),可得B點(diǎn),A點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式;

2OC=x,根據(jù)翻折變換的性質(zhì)用x表示出BC的長,再根據(jù)勾股定理求解即可;

3)當(dāng)ACD≌△AP1D時(shí),根據(jù)C、P點(diǎn)關(guān)于D點(diǎn)對(duì)稱,可得P點(diǎn)坐標(biāo),當(dāng)ACD≌△DP2A時(shí),根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì),可得答案;當(dāng)ACD≌△DP3A時(shí),根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì),可得答案.

試題解析:1)設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(a,0),B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,b),

由線段AB的中點(diǎn)為D3,2),得

=3,=2,

解得a=6b=4

A6,0),B04

故一次函數(shù)解析式為y=-x+4.

2)如圖1

連接BC,設(shè)OC=x,則AC=CB=6-x,

∵∠BOA=90°,

OB2+OC2=CB2,

42+x2=6-x2,

解得x=

C,0);

3當(dāng)ACD≌△APD時(shí),設(shè)P1cd),

DPC的中點(diǎn),得

,=2

解得c=,d=4

P1,4);

如圖2

,

當(dāng)ACD≌△DP2A時(shí),

DEACE,P2FACF點(diǎn),DE=2CE=,

CDE≌△AP2F,

AF=CE=,P2F=DE=2,

OF=6-=,

P2-2);

當(dāng)ACD≌△DP3A時(shí),設(shè)P3e,f

A是線段P2P3的中點(diǎn),得

,,

解得e=,f=2

P3,2),

綜上所述:P1,4);P2,-2);P3,2).

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∴∠EHF=∠DGF

∴DB∥EC

∴∠ =∠DBA ( 兩直線平行,同位角相等)

∵∠C=∠D

∴∠DBA=∠D

∴DF∥ (內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行)

∴∠A=∠F

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