【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+2與x軸交于A,B兩點,與y軸交于C點,且點A的坐標為(1,0).
(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標;
(2)判斷△ABC的形狀,并證明你的結論;
(3)點M是拋物線對稱軸上的一個動點,當△ACM的周長最小時,求點M的坐標.
【答案】(1)頂點D的坐標為(﹣,);(2)△ABC是直角三角形(3)當M的坐標為(﹣,)
【解析】分析:(1)、將點A的坐標代入函數(shù)解析式求出b的值,然后將二次函數(shù)進行配方從而得出頂點坐標;(2)、根據(jù)二次函數(shù)的解析式分別得出點A、B、C的坐標,然后分別求出AC、BC和AB的長度,然后根據(jù)勾股定理的逆定理得出答案;(3)、由拋物線的性質可知,點A與點B關于對稱軸對稱,則BC與對稱軸的交點就是點M,根據(jù)一次函數(shù)的交點求法得出點M的坐標.
詳解:(1)、∵點A(1,0)在拋物線y=﹣x2+bx+2上,∴﹣+b+2=0,解得,b=﹣,
拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+2,y=﹣x2﹣x+2=﹣(x+)2+,
則頂點D的坐標為(﹣,);
(2)、△ABC是直角三角形,
證明:點C的坐標為(0,2),即OC=2, ﹣x2﹣x+2=0, 解得,x1=﹣4,x2=1,
則點B的坐標為(﹣4,0),即OB=4,OA=1,OB=4, ∴AB=5,
由勾股定理得,AC=,BC=2, AC2+BC2=25=AB2, ∴△ABC是直角三角形;
(3)、由拋物線的性質可知,點A與點B關于對稱軸對稱,
連接BC交對稱軸于M,此時△ACM的周長最小, 設直線BC的解析式為:y=kx+b,
由題意得,, 解得,, 則直線BC的解析式為:y=x+2,
當x=﹣時,y=, ∴當M的坐標為(﹣,).
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【題目】將1,2,3,...,30,這30個整數(shù),任意分為15組,每組2個數(shù).現(xiàn)將每組數(shù)中的一個數(shù)記為,另一個數(shù)記為,計算代數(shù)式的值,15組數(shù)代入后可得到15個值,則這15個值之和的最小值為( )
A.B.120C.225D.240
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【題目】某商場用14500元購進甲、乙兩種礦泉水共500箱,礦泉水的成本價與銷售價如表(二)所示:
求:(1)購進甲、乙兩種礦泉水各多少箱?
(2)該商場售完這500箱礦泉水,可獲利多少元?
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【題目】閱讀下列材料:已知實數(shù)m,n滿足(2m2+n2+1)(2m2+n2﹣1)=80,試求2m2+n2的值
解:設2m2+n2=t,則原方程變?yōu)椋?/span>t+1)(t﹣1)=80,整理得t2﹣1=80,t2=81,∴t=±9因為2m2+n2≥0,所以2m2+n2=9.
上面這種方法稱為“換元法”,把其中某些部分看成一個整體,并用新字母代替(即換元),則能使復雜的問題簡單化.
根據(jù)以上閱讀材料內容,解決下列問題,并寫出解答過程.
已知實數(shù)x,y滿足(4x2+4y2+3)(4x2+4y2﹣3)=27,求x2+y2的值.
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【題目】如圖,已知:AD為△ABC的中線,過B、C兩點分別作AD所在直線的垂線段BE和CF,E、F為垂足,過點E作EG∥AB交BC于點H,連結HF并延長交AB于點P。
(1)求證:DE=DF
(2)若;①求:的值;②求證:四邊形HGAP為平行四邊形。
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【題目】如圖,在△ABC中,D是BC的中點,DE⊥BC交AC于點E,已知AD=AB,連接BE交AD于點F,下列結論:①BE=CE;②∠CAD=∠ABE;③S△ABF=3S△DEF;④△DEF∽△DAE,其中正確的有( 。
A. 1個 B. 4個 C. 3個 D. 2個
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【題目】為推動陽光體育活動的廣泛開展,引導學生積極參加體育鍛煉,學校準備購買一批運動鞋供學生借用.現(xiàn)從各年級隨機抽取了部分學生的鞋號,繪制了如下的統(tǒng)計圖①和圖②,請根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題:
(1)本次接受隨機抽樣調查的學生人數(shù)為 人,圖①中的m的值為 ,圖①中“38號”所在的扇形的圓心角度數(shù)為 ;
(2)本次調查獲取的樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)是 ,中位數(shù)是 ;
(3)根據(jù)樣本數(shù)據(jù),若學校計劃購買200雙運動鞋,建議購買36號運動鞋多少雙?
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【題目】一天,明明和強強相約到距他們村莊560米的博物館游玩,他們同時從村莊出發(fā)去博物館,明明到博物館后因家中有事立即返回.如圖是他們離村莊的距離y(米)與步行時間x(分鐘)之間的函數(shù)圖象,若他們出發(fā)后6分鐘相遇,則相遇時強強的速度是_____米/分鐘.
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【題目】如圖,已知∠AOC=∠BOD=120°,∠BOC=∠AOD.
(1)求∠AOD的度數(shù);
(2)若射線OB繞點O以每秒旋轉20°的速度順時針旋轉,同時射線OC以每秒旋轉15°的速度逆時針旋轉,設旋轉的時間為t秒(0<t<6),試求當∠BOC=20°時t的值;
(3)若∠AOB繞點O以每秒旋轉5°的速度逆時針旋轉,同時∠COD繞點O以每秒旋轉10°的速度逆時針旋轉,設旋轉的時間為t秒(0<t<18),OM平分∠AOC,ON平分∠BOD,在旋轉的過程中,∠MON的度數(shù)是否發(fā)生改變?若不變,求出其值:若改變,說明理由.
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