Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠C＝90°，以AB為直徑的⊙O交AD于點(diǎn)E，CD＝ED，連接BD交⊙O于點(diǎn)F．

（1）求證：BC與⊙O相切；

（2）若BD＝10，AB＝13，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：(1)連接BE，可證明Rt△BCD≌Rt△BED，結(jié)合條件可證明∠BDC＝∠ABD，可證得AB∥CD,最后看單詞結(jié)果;(2)連接EF，根據(jù)圓周角定理得出∠AFB＝90°，在Rt△ABF中根據(jù)勾股定理得出BF＝5，然后由Rt△ABF∽R(shí)t△BDC，ED＝ ，從而求出AE的長.

詳解：（1）證明：連接BE．

∵ AB是直徑，

∴∠AEB＝90°．

在Rt△BCD和Rt△BED 中

∴Rt△BCD≌Rt△BED．

∴∠ADB＝∠BDC．

又 AD＝AB，

∴∠ADB＝∠ABD．

∴∠BDC＝∠ABD．

∴AB∥CD．

∴∠ABC＋∠C＝180°．

∴∠ABC＝180°－∠C＝180°―90°＝90°．

即BC⊥AB．

又B在⊙O上，

∴BD與⊙O相切．

（2）解：連接AF．

∵AB是直徑，

∴∠AFB＝90°，即AF⊥BD．

∵AD＝AB，BC＝10，

∴BF＝5．

在Rt△ABF和Rt△BDC中

∴Rt△ABF∽Rt△BDC．

∴＝．

∴＝．

∴DC＝．

∴ED＝．

∴AE＝AD―ED＝13―＝．