【題目】已知拋物線y=﹣x2+2nx﹣n2+n的頂點(diǎn)為P,直線y=分別交x,y軸于點(diǎn)M,N.
(1)若點(diǎn)P在直線MN上,求n的值;
(2)是否存在過(guò)(0,﹣2)的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn)(A點(diǎn)在B點(diǎn)的下方),使AB為定長(zhǎng),若存在,求出AB的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)四邊形MABN的周長(zhǎng)最小時(shí),求n的值.
【答案】(1) n=;(2) 存在直線y=x﹣2,使AB為定長(zhǎng),且AB=;(3) n=1
【解析】
(1)利用配方法求出頂點(diǎn)P的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題;
(2)設(shè)過(guò)(0,﹣2)的直線為y=kx﹣2,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),利用k,n表示線段AB,構(gòu)建方程求出k即可解決問(wèn)題;
(3)由題意:M(﹣3,0),N(0,),如圖,平移AB,使A點(diǎn)于M點(diǎn)重合,則B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G剛好落在y軸上,且G(0,3).作點(diǎn)G關(guān)于直線y=x﹣2的對(duì)稱點(diǎn)H(5,﹣2).連接NH交直線y=x﹣2為點(diǎn)R(2,0).可證明當(dāng)點(diǎn)B與R重合時(shí),四邊形MABN的周長(zhǎng)最小.利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題.
(1)∵y=﹣x2+2nx﹣n2+n=﹣(x﹣n)2+n,∴頂點(diǎn)P(n,n),把P(n,n)代入,得n=.
(2)設(shè)過(guò)(0,﹣2)的直線為y=kx﹣2,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
聯(lián)立,消元得x2+(k﹣2n)x+n2﹣n﹣2=0,∴,∴,∴y1﹣y2=k(x1﹣x2),∴(y1﹣y2)2=k2(x1﹣x2)2,∴AB2=(x1﹣x2)2+(y1﹣y2)2=(1+k2)[k2+8+(4﹣4k)n].
∵要使AB為定長(zhǎng),則AB2的值與n的取值無(wú)關(guān),∴4﹣4k=0,∴k=1,∴存在直線y=x﹣2,使AB為定長(zhǎng),且AB=.
(3)由題意:M(﹣3,0),N(0,),如圖,平移AB,使A點(diǎn)于M點(diǎn)重合,則B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G剛好落在y軸上,且G(0,3).作點(diǎn)G關(guān)于直線y=x﹣2的對(duì)稱點(diǎn)H(5,﹣2).
連接NH交直線y=x﹣2為點(diǎn)R(2,0).
可證明當(dāng)點(diǎn)B與R重合時(shí),四邊形MABN的周長(zhǎng)最小.
將 R(2,0)代入y=﹣(x﹣n)2+n中,得:n1=1,n2=4(舍去),∴n=1.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,P為對(duì)角線AC上一點(diǎn),且CP=,PE⊥PB交CD于點(diǎn)E,則PE=( )
A.B.C.D.5
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4,0),點(diǎn)P在直線y=﹣x+m上,且AP=OP=4,則m的值為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,直線AB:y=﹣x+b交y軸于點(diǎn)A(0,4),交x軸于點(diǎn)B.
(1)求直線AB的表達(dá)式和點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)直線l垂直平分OB交AB于點(diǎn)D,交x軸于點(diǎn)E,點(diǎn)P是直線l上一動(dòng)點(diǎn),且在點(diǎn)D的上方,設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為n.
①用含n的代數(shù)式表示△ABP的面積;
②當(dāng)S△ABP=8時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
③在②的條件下,以PB為斜邊在第一象限作等腰直角△PBC,求點(diǎn)C的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】工人師傅用一塊長(zhǎng)為10dm,寬為6dm的矩形鐵皮制作一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體容器,需要將四角各裁掉一個(gè)正方形.(厚度不計(jì))
(1)在圖中畫出裁剪示意圖,用實(shí)線表示裁剪線,虛線表示折痕;并求長(zhǎng)方體底面面積為12dm2時(shí),裁掉的正方形邊長(zhǎng)多大?
(2)若要求制作的長(zhǎng)方體的底面長(zhǎng)不大于底面寬的五倍,并將容器進(jìn)行防銹處理,側(cè)面每平方分米的費(fèi)用為0.5元,底面每平方分米的費(fèi)用為2元,裁掉的正方形邊長(zhǎng)多大時(shí),總費(fèi)用最低,最低為多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,頂點(diǎn)在軸上(點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)),點(diǎn)在上,連接,且.
(1)如圖1,求點(diǎn)的縱坐標(biāo);
(2)如圖2,點(diǎn)在軸上(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)),點(diǎn)在上,連接交于點(diǎn);若,求證:
(3)如圖3,在(2)的條件下,是的角平分線,點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱,過(guò)點(diǎn)作分別交于點(diǎn),若,求點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知△ABC,∠ACB=90°,AC=BC=4,D是AB的中點(diǎn),P是平面上的一點(diǎn),且DP=1,連接BP,CP
(1)如圖,當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上時(shí),求CP的長(zhǎng);
(2)當(dāng)△BPC是等腰三角形時(shí),求CP的長(zhǎng);
(3)將點(diǎn)B繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)B′,連接AB′,求AB′的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=8,BC=6,P為AD上一點(diǎn),將△ABP沿BP翻折至△EBP,PE與CD相交于點(diǎn)O,BE與CD相交于點(diǎn)G,且OE=OD,則AP的長(zhǎng)為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,AB為⊙O的直徑,點(diǎn)C、D在⊙O上,且BC=6cm,AC=8cm,∠ABD=45°.
(1)求BD的長(zhǎng);
(2)求圖中陰影部分的面積.
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