Question

【題目】如圖，直線l：y=x﹣ 與x軸正半軸、y軸負(fù)半軸分別相交于A、C兩點(diǎn)，拋物線y= x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B（﹣1，0）和點(diǎn)C．
（1）填空：直接寫出拋物線的解析式：；
（2）已知點(diǎn)Q是拋物線y= x2+bx+c在第四象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
①如圖，連接AQ、CQ，設(shè)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為t，△AQC的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；

②連接BQ交AC于點(diǎn)D，連接BC，以BD為直徑作⊙I，分別交BC、AB于點(diǎn)E、F，連接EF，求線段EF的最小值，并直接寫出此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）y= x2﹣ x﹣
（2）

解：①作QM∥y軸交直線AC于M，如圖①，

設(shè)Q（t， t2﹣ t﹣ ），則M（t，t﹣ ），

∴MQ=t﹣ ﹣（ t2﹣ t﹣ ）=﹣ t2+ t，

∴S=S△CMQ﹣S△AMQ= MQ1=﹣ t2+ t=﹣ （t﹣1）2+ ，

當(dāng)t=1時(shí)，S有最大值 ；

②連接OE、OF，作OH⊥EF于H，如圖②，則EH=FH，

在Rt△OBC中，∵tan∠OBC= = ，

∴∠OBC=60°，

同理可得∠OAC=60°，AC=2OA=2，

∴△ABC為等邊三角形，

∵∠EIF=2∠EBF，

∴∠EIF=120°，

∴∠IEH=30°，

在Rt△IEH中，∵cos∠IEH= ，

∴EH= IE，

∴EF=2EH= IE，

而IE= BD

∴EF= BD，

當(dāng)BD的值最小時(shí)，EF的值最小，

而當(dāng)BD⊥AC時(shí)，即BD為等邊△ABC的高時(shí)，BD的值最小，

此時(shí)BD= AC= ，

∴線段EF的最小值為 ，

∵∠QBA=30°，

∴直線BQ與y軸的交點(diǎn)為（0，﹣ ），

易得直線BQ的解析式為y=﹣ x﹣ ，

解方程組 得 或 ，

∴此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，﹣ ）

【解析】解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，x﹣ =0，解得x= ，則A（ ，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=x﹣ =﹣ ，則C（0，﹣ ），把B（﹣1，0），C（0，﹣ ）代入y= x2+bx+c得 ，解得 ，
所以拋物線解析式為y= x2﹣ x﹣ ；
所以答案是y= x2﹣ x﹣ ；
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)(一次函數(shù)是直線，圖像經(jīng)過仨象限；正比例函數(shù)更簡(jiǎn)單,經(jīng)過原點(diǎn)一直線；兩個(gè)系數(shù)k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來相見,k為正來右上斜,x增減y增減；k為負(fù)來左下展,變化規(guī)律正相反；k的絕對(duì)值越大,線離橫軸就越遠(yuǎn))，還要掌握二次函數(shù)的圖象(二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn))的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．