Question

17．如圖，AB是半圓O的直徑，點C為半徑OB上一點，過點C作CD⊥AB交半圓O于點D，將△ACD沿AD翻折得到△AED，AE交半圓O于點F，連接DF、OD．
（1）求證：DE是半圓O的切線；
（2）當OC=BC時，判斷四邊形ODFA的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）連接OD，由等腰三角形的性質可得到∠OAD=∠ODA，由圖形翻折變換的性質可得到∠CDA=∠EDA，再根據(jù)CD⊥AB即可得出結論；
（2）連接OF，可知OC=BC=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$OD，由平行線的判定定理可得出OD∥AF，進而可得出△FAO是等邊三角形，由等邊三角形的性質可判斷出四邊形ODFA是平行四邊形，由OA=OD即可得出結論．

解答 證明：（1）如圖，連接OD，則OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵△AED由△ACD對折得到，
∴∠CDA=∠EDA，
又∵CD⊥AB，
∴∠CAD+∠CDA=∠ODA+∠EDA=90°，D點在半圓O上，
∴DE是半圓的切線；

（2）四邊形ODFA是菱形，
如圖，連接OF，
∵CD⊥OB，
∴△OCD是直角三角形，
∴OC=BC=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$OD，
在Rt△OCD中，
∵∠ODC=30°，
∴∠DOC=60°，
∵∠DOC=∠OAD+∠ODA，
∴∠OAD=∠ODA=∠FAD=30°，
∴OD∥AF，∠FAO=60°，
又∵OF=OA，
∴△FAO是等邊三角形，
∴OA=AF，
∴OD=AF，
∴四邊形ODFA是平行四邊形，
∵OA=OD，
∴四邊形ODFA是菱形．

點評 本題考查的是切線的判定、菱形的判定定理、圓周角定理及圖形翻折變換的性質，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關鍵．