Question

如圖所示，正方形ABCD的面積設(shè)為1，E和F分別是AB和BC的中點，則圖中陰影部分的面積是

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：由四邊形ABCD是正方形，易求得△AMD∽△CMF與△AEN∽△CDN，又由E和F分別是AB和BC的中點，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，易求得AN=MN=CM，然后利用等高三角形面積的比等于底的比，即可求得△DMN的面積，然后由相似三角形的面積比等于相似比的平方，求得△AEN與△CFM的面積，繼而求得陰影部分的面積．

解答：解：設(shè)DE，DF分別交AC于N，M，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，AD∥BC，
∴△AMD∽△CMF，
∴

AM

CM

=

AD

FC

=

DM

FM

，
∵F是BC的中點，
∴AD=BC=2FC，
∴

AM

CM

=

AD

FC

=

DM

FM

=2，
同理：△AEN∽△CDN，
∵E是AB的中點，
∴

CN

AN

=

DC

AE

=

DN

EN

=2，
∴AN=MN=CM=

1

3

AC，
∵S_△ACD=

1

2

S_{正方形ABCD}=

1

2

×1=

1

2

，
∴S_△DMN=

1

3

S_△ACD=

1

3

×

1

2

=

1

6

，S_△ADM=

2

3

S_△ACD=

2

3

×

1

2

=

1

3

，
∵

S△CFM

S△ADM

=(

FC

AD

)2=

1

4

，
∴S_△CFM=

1

4

×

1

3

=

1

12

，
同理：S_△AEN=

1

12

，
∴S陰影=S_{正方形ABCD}-S_△AEN-S_△CFM-S_△DMN=1-

1

12

-

1

12

-

1

6

=

2

3

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)與正方形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握等高三角形面積的比等于底的比與相似三角形的面積比等于相似比的平方是解此題的關(guān)鍵．