Question

如圖1，在直角坐標(biāo)系中，直線y=

4

3

x+4分別交兩軸于A、B．
（1）A、B的坐標(biāo)是A

 

、B

 

；
（2）如圖2，點(diǎn)D從O點(diǎn)出發(fā)沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位的速度勻速前進(jìn)；同時(shí)，點(diǎn)E從A出發(fā)在直線AB上沿AB方向以每秒2個(gè)單位的速度勻速前進(jìn)．
①從出發(fā)開始，幾秒后DE⊥AB？
②從出發(fā)開始，幾秒后△ADE是等腰三角形？

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）分別令y=0和x=0解方程求解；
（2）設(shè)x秒后符合題意．則OD=x，AE=2x．
①當(dāng)DE⊥AB時(shí)，根據(jù)△ADE∽△ABO列方程求解；
②分三種情況討論求解：AD=AE；AE=DE；AD=DE．

解答：解：（1）令y=0，得 x=-3．
∴A（-3，0）；
令x=0，得 y=4．
∴B（0，4）．
（2）在Rt△ABO中，AB=

32+42

=5．
設(shè)移動(dòng)時(shí)間為x秒，則OD=x，AE=2x．

①如圖1所示．當(dāng)DE⊥AB時(shí)，有△ADE∽△ABO．
∴

AE

AO

=

AD

AB

，即

2x

3

=

x+3

5

，
解得 x=

9

7

．
答：從出發(fā)開始，

9

7

秒后DE⊥AB；
②如圖2所示，分三種情況：
Ⅰ．若AD=AE，則 2x=3+x．解得 x=3；
Ⅱ．若AE=DE，作EF⊥AD于點(diǎn)F．
則AF=

3+x

2

；△AEF∽△ABO．
∴

AF

AO

=

AE

AB

，即

3+x 2

3

=

2x

5

．
解得 x=

15

7

；
Ⅲ．若AD=DE，作DC⊥AB于點(diǎn)C．
則AC=x；△ACD∽△AOB．
∴

AC

AO

=

AD

AB

，即

x

3

=

3+x

5

．
解得 x=

9

2

．
綜上所述，從出發(fā)開始，3秒或

15

7

秒或

9

2

秒后△ADE是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，運(yùn)用了分類討論的數(shù)學(xué)思想和方法，結(jié)合相似三角形的判定和性質(zhì)解答問題，綜合性很強(qiáng)，難度較大．