【題目】 如圖,在RtABC中,∠ACB=90°,AC=BC.點(diǎn)PAB邊上一點(diǎn),QBC邊上一點(diǎn),且∠BPQ=APC,過(guò)點(diǎn)AADPC,交BC于點(diǎn)D,直線AD分別交直線PC、PQE、F

1)求證:∠FDQ=FQD;

2)把DFQ沿DQ邊翻折,點(diǎn)F剛好落在AB邊上點(diǎn)G,設(shè)PC分別交GQ、GDM、N,試判定MNEN的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.

【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2)MN=3EN,證明詳見(jiàn)解析

【解析】

1)首先根據(jù)∠ACB=90°,AC=BC,可得∠BAC=ABC=45°;然后根據(jù)三角形的外角的性質(zhì),可得∠FDQ=FAB+ABC=FAB+45°;最后在BPQ中,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理,推得∠FQD=BQP=FAB+45°,即可推得∠FDQ=FQD

2MNEN的數(shù)量關(guān)系是:MN=3EN.首先判斷出AHDGPQ,推得,再根據(jù)相似三角形判定的方法,判斷出APC∽△BPQ,推得,進(jìn)一步推得BQ=HC=CD;然后判斷出AHPF,推得=,進(jìn)一步推得DQ=CD,BP=PG,再根據(jù)BIGQ,推得BI=GM;最后判斷出ADBI,即可推得,據(jù)此判斷出MN=3EN即可.

1)證明:如圖1,

,

∵∠ACB=90°AC=BC,

∴∠BAC=ABC=45°

由三角形的外角的性質(zhì),可得

FDQ=FAB+ABC=FAB+45°,

ADPC,

∴∠AEP=90°

∴∠FAB+APC=90°,

∴∠APC=90°-FAB

又∵∠BPQ=APC,

∴∠BPQ=90°-FAB

∴∠FQD=BQP=180°-BPQ-ABC

=180°-90°-FAB-45°

=FAB+45°

∴∠FDQ=FQD

2)解:MNEN的數(shù)量關(guān)系是:MN=3EN

如圖2,延長(zhǎng)DCH,使HC=CD,連接AH,過(guò)點(diǎn)BBIGQ,交CP延長(zhǎng)線于點(diǎn)I,

,

HC=CD,ACHD,

∴△ADH是等腰三角形,

AD=AH,

∴∠H=ADH=FDQ=FQD=BQP

∵把DFQ沿DQ邊翻折,得到DGQ,

∴△GDQ≌△FDQ,

∴∠FDQ=GDQ,

又∵∠H=FDQ=BQP,

∴∠H=BQP=GDQ

AHDGPQ

,∠GQP=DGQ,

APCBPQ中,

,

∴△APC∽△BPQ,

,

又∵,

BC=QH,

BQ=HC,

又∵HC=CD,

BQ=HC=CD

∵把DFQ沿DQ邊翻折,得到DGQ,

∴∠DFQ=DGQ,

又∵∠GQP=DGQ,

∴∠GQP=DFQ,

ADGQ,四邊形DFQG是平行四邊形,

,FD=GQ

AHPF,

=

又∵DH=2CD,BQ=CD

,

,

∴(DQ+2CD)(DQ-CD=0,

解得DQ=CD,或DQ=-2CD(舍去),

=1,

BP=PG

BIGQ,

=1

BI=GM,

BIGQ,ADGQ,

ADBI,

,

,

MN=3EN

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