Question

【題目】如圖，正方形ABCO的邊OA、OC在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，6），將正方形ABCO繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF，ED交線段AB于點(diǎn)G，ED的延長線交線段OA于點(diǎn)H，連CH、CG．

（1）求證：△CBG≌△CDG；
（2）求∠HCG的度數(shù)；并判斷線段HG、OH、BG之間的數(shù)量關(guān)系，說明理由；
（3）連結(jié)BD、DA、AE、EB得到四邊形AEBD，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)G點(diǎn)在何位置時(shí)四邊形AEBD是矩形？請說明理由并求出點(diǎn)H的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵將正方形ABCO繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α，

∴DC=CO，∠CDG=∠COA=90°，

∵四邊形OCBA是正方形，

∴CB=CO，∠B=90°，

∴CB=CD，∠B=∠CDG=90°

在Rt△CDG與Rt△CBG中，

，

∴Rt△CDG≌Rt△CBG

（2）

解：∵∠CDG=90°，

∴∠CDH=90°，

在Rt△COH與Rt△CDH中，

，

∴Rt△COH≌Rt△CDH，

∴∠OCH=∠DCH，HO=DH，

∵Rt△CDG≌Rt△CBG，

∴∠DCG=∠BCG，DG=BG，

∴∠HCG=∠DCG+∠DCH=45°，

HG=HD+DG=HO+BG

（3）

解：當(dāng)G是AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形ADBE是矩形，

∵G是AB中點(diǎn)，

∴BG=AG= AB

由（2）得DG=BG，

又∵AB=DE，

∴DG= DE，

∴DG=GE=BG=AG，

∴四邊形AEBD是平行四邊形，

∵AB=DE，

∴□ADBE是矩形，

設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為（x，0），

則HO=HD=x，DG=BG=AG=3，AH=6﹣x，

由勾股定理得，（6﹣x）2+33=（3+x）2，

解得，x=2，

∴H（2，0）．

【解析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到DC=CO，∠CDG=∠COA=90°，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到CB=CO，∠B=90°，根據(jù)直角三角形的全等的判定定理證明即可；（2）證明Rt△COH≌Rt△CDH，得到∠OCH=∠DCH，HO=DH，等量代換即可；（3）根據(jù)矩形的判定定理證明四邊形AEBD是矩形，設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為（x，0），根據(jù)勾股定理列出方程，解方程求出x的值，得到點(diǎn)H的坐標(biāo)．