Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長是6，點E、F分別是邊AD、AB的點,AP⊥BE于點P.

(1)如圖①，當AE=2且AF=BF時，若點T是射線PF上的一個動點(點T不與點P重合)，當△ABT是直角三角形時，求AT的長.

(2)如圖②，當AE=AF時，連結CP，判斷CP與PF的位置關系，并加以證明.

Answer 1

【答案】(1)AT＝3或3；(2)CP⊥PF，證明見解析.

【解析】

（1）解Rt△BAE，求出∠ABE＝30°，然后分三種情況進行討論：①當點T在AB的上方，∠ATB＝90°時，點T和點P重合，不符合題意；②當點T在AB的下方，∠ATB＝90°時，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得TF＝BF＝AF＝3，而∠BFT＝60°，那么△FTB是等邊三角形，TB＝3，再根據(jù)勾股定理求出AT； ③當點T在AB的下方，∠ABT＝90°時，解直角三角形求出BT，然后在Rt△ATB中利用勾股定理求出AT；

（2）先證明∠1＝∠3＝∠4，由tan∠1＝，tan∠3＝，得出，等量代換得到，然后可證明△PBC∽△PAF，得出∠5＝∠6，進而可得∠5＋∠7＝90°，即∠CPF＝90°，那么CP⊥PF．

解：（1）在正方形ABCD中，可得∠DAB＝90°，

∵在Rt△BAE中，tan∠ABE＝，

∴∠ABE＝30°，

點T是射線PF上的一個動點，當△ABT為直角三角形時，分三種情況：

①當點T在AB的上方，∠ATB＝90°，

此時點T和點P重合，與題意不符；

②當點T在AB的下方，∠ATB＝90°，

如圖所示，在Rt△APB中，由AF＝BF，可得：AF＝BF＝PF＝3，

∴∠BPF＝∠FBP＝30°，

∴∠BFT＝60°，

在Rt△ATB中，TF＝BF＝AF＝3，

∴△FTB是等邊三角形，

∴TB＝3，AT＝；

③當點T在AB的下方，∠ABT＝90°時，

如圖所示，在Rt△FBT中，∠BFT＝60°，BF＝3，BT＝BFtan60°＝，

在Rt△ATB中：AT＝，

綜上所述：當△ABT為直角三角形時，AT的長為或；

（2）CP⊥PF，

證明：如圖所示，∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝AD＝BC，AD∥BC，∠DAB＝90°，

∴∠3＝∠4，

∵在Rt△EAB中，AP⊥BE，

∴∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠2＝90°，

∴∠1＝∠3，

∴∠1＝∠3＝∠4，

∵tan∠1＝，tan∠3＝，

∴，

∵AE＝AF，AB＝BC，

∴，

∴△PBC∽△PAF，

∴∠5＝∠6．

∵∠6＋∠7＝90°，

∴∠5＋∠7＝90°，即∠CPF＝90°，

∴CP⊥PF．