Question

【題目】在“學(xué)本課堂”的實(shí)踐中，王老師經(jīng)常讓學(xué)生以“問題”為中心進(jìn)行自主、合作、探究學(xué)習(xí).

（課堂提問）王老師在課堂中提出這樣的問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，那么BC和AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

（互動(dòng)生成）經(jīng)小組合作交流后，各小組派代表發(fā)言.

（1）小華代表第3小組發(fā)言：AB=2BC. 請你補(bǔ)全小華的證明過程.

證明：把△ABC沿著AC翻折，得到△ADC.

∴∠ACD=∠ACB=90°，

∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=90°+90°=180°，

即：點(diǎn)B、C、D共線.（請?jiān)谙旅嫜a(bǔ)全小華的證明過程）

（2）受到第3小組“翻折”的啟發(fā)，小明代表第2小組發(fā)言：如圖2，在△ABC中，如果把條件“∠ACB=90°”改為“∠ACB=135°”，保持“∠BAC=30°”不變，若BC=1，求AB的長.

（思維拓展）如圖3，在四邊形ABCD中，∠BCD=45°，∠BAD=90°，∠ADB=∠CDB=60°，且AC=3，則△ABD的周長為 .

（能力提升）如圖4，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AD=AC，∠BAD=∠CAD=20°，∠ADB+∠ACB=210°，則AD、DB、BC三者之間的相等關(guān)系是 .

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）；（4）DB2+BC2=AD2.

【解析】

（1）根據(jù)提示證明出△ABD為等邊三角形即可說明BC和AE的關(guān)系；

（2）過點(diǎn)B作AC邊的垂線,交AC的延長線于點(diǎn)D ,設(shè)，則，解出即可；

（3）思維拓展:作BD⊥CD于點(diǎn)E ,作CF垂直AD的延長線于點(diǎn)F，設(shè)，，然后表示出,邊建立方程解出即可.

（4）能力提升:把△ABD沿AB邊翻折得到△AEB，連接ED , EC ,先通過角度轉(zhuǎn)換得到 再證明,,即可求出AD、DB、BC三 邊的關(guān)系;

（1）證明：把△ABC沿AC翻折，得到△ADC,

∴∠ACD＝∠ACB＝90°,

∴∠BCD=∠ACD＋∠ACB＝90°＋90°＝180°,

即：點(diǎn)B、C、D共線，

∴AB=AD,

∵∠BAC=30°,

∴∠ABC=60°,

∴△ABD為等邊三角形，

∴AB=BD=2BC.

（2）過點(diǎn)B作AC邊的垂線,交AC的延長線于點(diǎn)D,

∵∠ACB=135°，

∴∠BCD=45°,

∵∠BDC=90°,BC=1,

設(shè)BD＝，則CD＝BC＝,

,

解得：，

∵∠BAC＝30°,

∴ AB＝2BD＝.

思維拓展：

（3）作BD⊥CD于點(diǎn)E ,作CF垂直AD的延長線于點(diǎn)F ,

∵∠BAD=90°,∠ADB=∠CDB=60°，

∴△BAD≌△BED，

∵∠BCD=45° ,

∴BE=CE，

設(shè)AD=x ,

∴BD= 2AD=2x ,

∴，

∴EC=EB=AB=,

∴

∴∠FDC=60°，∠ECD=30°，

∴ ，

∴ ，

∵AC＝1,

在中， ,

則 ，

解得：，

，

,

則△ABD的周長為：.

（4）能力提升：

把△ABD沿AB邊翻折得到△AEB,連接ED，EC,

∵∠BAD＝∠CAD=20°,

∴∠EAB=20°,

∴∠EAC＝60°,

∵∠ACB＋∠ADB＝210°, ∠AEB＝∠ADB,

∴∠ACB＝∠AEB＝210°,

∴∠EBC＝360°－210°－60°＝90°,

∵AD＝AC，AE＝AD，

∴AE＝AC,

∴△AEC為等腰三角形，

∴EC＝AE＝AD，

在中，,

∵EB＝BD,EC＝AD,

∴.