Question

【題目】如圖，將兩塊直角三角板擺放在平面直角坐標(biāo)系中，有，， ，且．現(xiàn)將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為．在旋轉(zhuǎn)過程中，直線分別與直線，交于點(diǎn)，．

（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時(shí)，求直線的解析式；

（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，能否為等腰是三角形？若能，請求出所有滿足條件的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）當(dāng)為或或或時(shí)，為等腰三角形．

【解析】

（1）過點(diǎn)B作BH⊥x軸于點(diǎn)H，在Rt△AOB中，∠AOB=60°，OA=8，所以，再利用勾股定理求出OH、BH，即可解答；
（2）分兩種情況：Ⅰ當(dāng)點(diǎn)B在第一象限時(shí)（如圖2），過點(diǎn)B作BM⊥OC于點(diǎn)M；Ⅱ當(dāng)點(diǎn)B在第二象限時(shí)（如圖3），過點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，過點(diǎn)A作AF⊥BE于H；分別求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解析式，即可解答；
（3）分三種情況：Ⅰ當(dāng)0°＜β＜45°時(shí)（如圖4）；Ⅱ當(dāng)45°＜β＜75°時(shí)（如圖5）；Ⅲ當(dāng)75°＜β＜180°時(shí)，分三種情況解答：①FA=FG，②AF=AG，③GA=GF；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，角之間的和與差，即可解答．

解；（1）如圖1，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)．

在中，，，

∴∠OAB=30°

．

當(dāng)，即時(shí)，則．

．

．

．

（2）①當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)．

，．

，

．

點(diǎn)在軸上，

．

設(shè)直線的解析式為

由題意，得，

解得．

直線的解析式為．

②當(dāng)點(diǎn)在第二象限時(shí)，如圖3，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作的延長線于點(diǎn)．

，．

又，

，

又，

，

，，

又，

，

，．

．

設(shè)直線的解析式為，

，

解得

直線的解析式為．

綜上所述，直線的解析式為或．

（3）由題意可知，當(dāng)時(shí)，可證得．

分為以下情況討論：

I當(dāng)時(shí)，如圖4，則為鈍角．

當(dāng)時(shí)，有．

又，．

II當(dāng)時(shí)，如圖5，則為鈍角．

當(dāng)時(shí)，．

III當(dāng)時(shí)，

①若，如圖6，有

．

②若，如圖7，有

．

．

③若，如圖8，有．

．

，（舍去）．

綜上所述，當(dāng)為或或或時(shí)，為等腰三角形．