Question

已知拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)C（0，3），頂點(diǎn)P（2，-1），直線x=m（m＞3）交x軸于點(diǎn)D，拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)（如圖10）．
（1）①求得拋物線的函數(shù)解析式為

y=x²-4x+3

；
②A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是A（

（1，0）

），B（

（3，0）

）；
③該拋物線關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱的拋物線的函數(shù)解析式是

y=-x²-4x-3

；
④將已知拋物線平移，使頂點(diǎn)落在原點(diǎn)，則平移后得到的新拋物線的函數(shù)解析式是

y=x²

．
（2）若直線x=m（m＞3）上有一點(diǎn)E（E在第一象限），使得以B、E、D為頂點(diǎn)的三角形和以A、C、O為頂點(diǎn)的三角形相似，求E點(diǎn)的坐標(biāo)（用m的代數(shù)式表示）
（3）在（2）成立的條件下，拋物線上是否存在一點(diǎn)F，使得四邊形ABEF為平行四邊形，若存在，求出m的值及平行四邊形ABEF的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)函數(shù)過點(diǎn)C（0，3），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1）可得出a、b、c的值，繼而可得出解析式．②根據(jù)函數(shù)解析式可求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．③設(shè)點(diǎn)（x，y）在對稱后的函數(shù)圖象上，則（-x，-y）在原函數(shù)圖象上，代入可得出對稱后的函數(shù)關(guān)系式．④關(guān)于y軸對稱的二次函數(shù)解析式為y=ax²，結(jié)合①可得出答案．
（2）分別討論，①當(dāng)△EDB∽△AOC時，②當(dāng)△EDB∽△COA時，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例得出ED的長，繼而可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)．
（3）要使四邊形ABEF為平行四邊形，則點(diǎn)F橫坐標(biāo)m-2，縱坐標(biāo)等于點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，將點(diǎn)F的坐標(biāo)代入可得出m的值，繼而也可求出平行四邊形的面積．

解答：解：（1）①將點(diǎn)（0，3）代入可得c=3，
又∵頂點(diǎn)P（2，-1），
∴可得出-

b

2a

=2，

4ac-b2

4a

=-1，
解得：a=1，b=-4，
即可得拋物線的函數(shù)解析式為y=x²-4x+3；
②由①得：y=x²-4x+3=（x-1）（x+3），
故可得出A（1，0），B（3，0）；
③設(shè)點(diǎn)（x，y）在對稱后的函數(shù)圖象上，則（-x，-y）在原函數(shù)圖象上，
故可得：-y=x²+4x+3，y=-x²-4x-3．
即關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱的拋物線解析式為：y=-x²-4x-3；
④平移后頂點(diǎn)落在原點(diǎn)的拋物線為y=x²．

（2）①當(dāng)△EDB∽△AOC時，

ED

AO

=

BD

CO

，

ED

1

=

m-3

3

，
則ED=

m-3

3

，得E₁[m，

m-3

3

]；
②當(dāng)△EDB∽△COA時，

ED

CO

=

BD

AO

，即

ED

3

=

m-3

1

，
則ED=3（m-3），得E₂（m，3m-9）．
因?yàn)椤螮DB=∠AOC=90°，所以只有這兩種情況．

（3）在（2）的條件下，假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)F，使四邊形ABEF為平行四邊形，
則EF=AB=2，點(diǎn)F橫坐標(biāo)m-2，縱坐標(biāo)等于點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，
當(dāng)點(diǎn)E坐標(biāo)為：E₁（m，

m-3

3

）時，F(xiàn)₁（m-2，

m-3

3

）在拋物線上，
有

m-3

3

=(m-2)2-4(m-2)+3?3m2-25m+48=0，
∴m=

16

3

或3（舍去），
這時F1（

10

3

，

7

9

），S平行四邊形ABEF=2×

7

9

=

14

9

．
②當(dāng)點(diǎn)E坐標(biāo)為：E₂（m，3m-9）時，F(xiàn)₂（m-2，3m-9）在拋物線上，
則3m-9=（m-2）²-4（m-2）+3?m²-11m+24=0，
解得：m=8或3（舍去），這時F₂（6，15），S_{平行四邊形ABEF}=2×15=30．
綜上，存在m₁=

16

3

，S_{平行四邊形}=

14

9

；存在m₂=8，S_{平行四邊形ABEF}=30．

點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)的綜合題，解答本題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的知識，平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)，難度較大，注意細(xì)心求解．