【題目】在正方形ABCD的邊AB上任取一點E,作EF⊥ABBD于點F,取FD的中點G,連接EG、CG,如圖(1),易證 EG=CGEG⊥CG

1)將△BEF繞點B逆時針旋轉90°,如圖(2),則線段EGCG有怎樣的數(shù)量關系和位置關系?請直接寫出你的猜想.

2)將△BEF繞點B逆時針旋轉180°,如圖(3),則線段EGCG又有怎樣的數(shù)量關系和位置關系?請寫出你的猜想,并加以證明.

【答案】

解(1EG="CG " EG⊥CG------------------------------------------------------------(2)

2EG="CG " EG⊥CG------------------------------------------------------------(2)

證明:延長FEDC延長線于M,連MG

∵∠AEM=90°,∠EBC=90°∠BCM=90°

四邊形BEMC是矩形.

∴BE=CM∠EMC=90°

∵BE=EF

∴EF=CM

∵∠EMC=90°FG=DG

∴MG=FD=FG

∵BC="EM" ,BC=CD

∴EM=CD

∵EF=CM

∴FM=DM

∴∠F=45°

FG=DG

∵∠CMG=∠EMC=45°

∴∠F=∠GMC

∴△GFE≌△GMC

∴EG="CG" ∠FGE=∠MGC------------------------------------------------------------------------(2)

∵∠FMC=90°,MF=MDFG="DG"

∴MG⊥FD

∴∠FGE+∠EGM=90°

∴∠MGC+∠EGM=90°

∠EGC=90°

∴EG⊥CG------------------------------------------------------------------------------------------- (2)

【解析】

試題從圖(1)中尋找證明結論的思路:延長FEDC邊于M,連MG.構造出△GFE≌△GMC.易得結論;在圖(2)、(3)中借鑒此解法證明.

解:(1EG=CG,EG⊥CG

2EG=CGEG⊥CG

證明:延長FEDC延長線于M,連MG

∵∠AEM=90°∠EBC=90°,∠BCM=90°,

四邊形BEMC是矩形.

∴BE=CM,∠EMC=90°,

由圖(3)可知,

∵BD平分∠ABC,∠ABC=90°,

∴∠EBF=45°,

∵EF⊥AB

∴△BEF為等腰直角三角形

∴BE=EF∠F=45°

∴EF=CM

∵∠EMC=90°FG=DG

∴MG=FD=FG

∵BC=EM,BC=CD

∴EM=CD

∵EF=CM,

∴FM=DM,

∵FG=DG

∠CMG=∠EMC=45°

∴∠F=∠GMC

△GFE△GMC中,

∴△GFE≌△GMCSAS).

∴EG=CG,∠FGE=∠MGC.

∵∠FMC=90°,MF=MD,FG=DG

∴MG⊥FD,

∴∠FGE+∠EGM=90°

∴∠MGC+∠EGM=90°

∠EGC=90°,

∴EG⊥CG

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