Question

9．如圖，兩同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)O到AB的距離等于CD的一半，且AC=CD．則大小圓的半徑之比為（　�。�

• A． $\sqrt{5}$：1
• B． 2：$\sqrt{10}$
• C． 10：$\sqrt{2}$
• D． 3：1

Answer 1

分析 過(guò)O作OE⊥AB，交AB于點(diǎn)E，連接OA，OC，如圖所示，由垂徑定理得到E為AB的中點(diǎn)，E為CD的中點(diǎn)，又AB的弦心距等于CD的一半，即OE=CE=ED=$\frac{1}{2}$CD，可得出三角形COE為等腰直角三角形，設(shè)CE=OE=x，利用勾股定理表示出OC，再由AC=CD，表示出AC，由AC+CE表示出AE，在直角三角形AOE中，利用勾股定理表示出OA，即可求出兩半徑之比．

解答 】解：過(guò)O作OE⊥AB，交AB于點(diǎn)E，連接OA，OC，如圖所示，
由垂徑定理得到E為AB的中點(diǎn)，E為CD的中點(diǎn)，
∵AB的弦心距等于CD的一半，即OE=CE=ED=$\frac{1}{2}$CD，
∴△OCE為等腰直角三角形，
設(shè)CE=OE=x，由勾股定理得到OC=$\sqrt{2}$x，
∵AC=CD=2CE，得到AC=2x，
∴AE=AC+CE=2x+x=3x，
在Rt△AEO中，根據(jù)勾股定理得：OA=$\sqrt{{AE}^{2}+{OE}^{2}}$=$\sqrt{10}$x，
則這兩個(gè)同心圓的大小圓的半徑之比OA：OC=$\sqrt{10}$x：$\sqrt{2}$x=$\sqrt{5}$：1．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了垂徑定理，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．