Question

15．已知正三角形的邊心距為1，則這個三角形的面積為（　　）

• A． 6$\sqrt{3}$
• B． 4$\sqrt{3}$
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 作AD⊥BC與D，連接OB，則AD經過圓心O，∠ODB=90°，OD=1，由等邊三角形的性質得出BD=CD，∠OBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，得出OA=OB=2OD，求出AD、BC，△ABC的面積=$\frac{1}{2}$BC•AD，即可得出結果．

解答 解：如圖所示：
作AD⊥BC與D，連接OB，
則AD經過圓心O，∠ODB=90°，OD=1，
∵△ABC是等邊三角形，
∴BD=CD，∠OBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∴OA=OB=2OD=2，
∴AD=3，BD=$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴BC=2$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×3=3$\sqrt{3}$；
故選：C．

點評 本題考查了圓內接正三角形的性質、解直角三角形、三角形面積的計算；熟練掌握圓內接正三角形的性質，由勾股定理求出AB是解決問題的關鍵．