Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC是正方形，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為（2，0），（0，2），D是x軸正半軸上的一點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)A的右邊），以BD為邊向外作正方形BDEF（E，F(xiàn)兩點(diǎn)在第一象限），連接FC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．
（1）若AD=1，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．
（2）若反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，G兩點(diǎn)，求k值．

Answer 1

分析 （1）過(guò)F作FN垂直于x軸，交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，證得ABD≌△BMF，由全等三角形的性質(zhì)得到BM=AB=2，F(xiàn)M=AD=1，即可求得結(jié)果；
（2）利用AAS得到三角形ABD與三角形BMF全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到AD=FM，進(jìn)而表示出F坐標(biāo)，根據(jù)B為CM中點(diǎn)，得出G的CF中點(diǎn)，表示出G坐標(biāo)，進(jìn)而得出E坐標(biāo)，把G與E代入反比例解析式求出a的值，確定出E坐標(biāo)，代入反比例解析式求出k的值即可．

解答 解：（1）過(guò)F作FN⊥x軸，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，
∵∠FBM+∠MBD=90°∠MBD+∠ABD=90°，
∴∠FBM=∠ABD，
∵四邊形OABC是正方形，
∴BF=BD，
在△ABD和△BMF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠BMF}\\{∠ABD=∠MFB}\\{BD=BF}\end{array}\right.$，
∴ABD≌△BMF，
∴BM=AB=2，F(xiàn)M=AD=1，
∴F（4，3）；

（2）過(guò)E作EH⊥x軸，交x軸于點(diǎn)H，
∵∠FBM+∠MBD=90°，∠MBD+∠ABD=90°，
∴∠FBM=∠ABD，
∵四邊形BDEF為正方形，
∴BF=BD，
在△ABD和△BMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠BMF}\\{∠ABD=MFB}\\{BD=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BMF（AAS），
設(shè)AD=FM=a，則有F（4，2+a），C（0，2），
由三角形中位線可得G為CF的中點(diǎn)，
∴G（2，2+$\frac{1}{2}$a），
同理得到△DHE≌△BAD，
∴EH=AD=a，OH=OA+AD+DH=4+a，
∴E（4+a，a），
∴2（2+$\frac{1}{2}$a）=a（4+a），即a²+3a-4=0，
解得：a=1或a=-4（舍去），
∴E（5，1），
把F代入反比例解析式得：k=5．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解一元二次方程，以及反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．