Question

【題目】在四邊形ABCD中，點(diǎn)E為AB邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)F為對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，且EF⊥AB.

(1)若四邊形ABCD為正方形．

①如圖①，請(qǐng)直接寫出AE與DF的數(shù)量關(guān)系______________；

②將△EBF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖②所示的位置，連接AE，DF，猜想AE與DF的數(shù)量關(guān)系并說明理由；

(2)如圖③，若四邊形ABCD為矩形，BC＝mAB，其他條件都不變，將△EBF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°＜α＜90°)得到△E′BF′，連接AE′，DF′，請(qǐng)?jiān)趫D③中畫出草圖，并求出AE′與DF′的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】(1)①DF＝ AE

②DF＝AE.理由見解析； (2) DF′＝ AE′.

【解析】試題分析：

（1）①由四邊形ABCD是正方形易得BD=AB，由EF∥AD可得，從而可DF=AE；

②由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合題意可證△ABE∽△DBF可得，從而可得DF=AE；

（2）畫圖如下，由四邊形ABCD為矩形，可得AD＝BC＝mAB，由勾股定理可得BD＝＝AB；易證△BEF∽△BAD，可得，因此＝.

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)結(jié)合題意可證△ABE′∽△DBF′，由此可得＝＝，

∴DF′＝ AE′.

試題解析：

(1)①DF＝ AE

②DF＝AE.理由如下：

∵△EBF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖②所示的位置，

∴∠ABE＝∠DBF.

∵， ，

∴ ，

∴△ABE∽△DBF，

∴ ，即DF＝ AE.

(2)如圖所示，∵四邊形ABCD為矩形，

∴AD＝BC＝mAB，

∴BD＝＝AB.

∵EF⊥AB，

∴EF∥AD，

∴△BEF∽△BAD，

∴，

∴＝.

∵△EBF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°＜α＜90°)得到△E′BF′，

∴∠ABE′＝∠DBF′，BE′＝BE，BF′＝BF，

∴＝＝，

∴△ABE′∽△DBF′，

∴＝＝，即DF′＝ AE′.