Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.0為BC邊上一點，以0為圓心，OB為半徑作半圓與BC邊和AB邊分別交于點D、點E，連接DE．

（1）當BD=3時，求線段DE的長；

（2）過點E作半圓O的切線，當切線與AC邊相交時，設交點為F．求證：△FAE是等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析．

【解析】

（1）由DB為直徑可以得到∠DEB=∠C=90°，由此可以證明Rt△DBE∽Rt△ABC有，把AC，BD，AB的值即可求得DE的值；
（2）由弦切角定理可得，∠B=∠FED，再由等角的余角相等知，∠A=∠FEA，故AF=EF．

解：（1）因為BD是直徑

所以角DEB是直角

所以

（2）證法一：連接OE，
∵EF為半圓O的切線，
∴∠DEO+∠DEF=90°，
∴∠AEF=∠DEO，
∵△DBE∽△ABC，
∴∠A=∠EDB，
又∵∠EDO=∠DEO，
∴∠AEF=∠A，
∴△FAE是等腰三角形；
證法二：連接OE
∵EF為切線，
∴∠AEF+∠OEB=90°，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠B，
∴∠AEF=∠A，
∴△FAE是等腰三角形．