Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線經(jīng)過，兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）求的面積；

（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使它到軸的距離為4，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，則說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）；（3）存在一點(diǎn)P或，使它到x軸的距離為4

【解析】

（1）先根據(jù)一次函數(shù)的解析式求出A和C的坐標(biāo)，再將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即可得出答案；

（2）先求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，再過D點(diǎn)作DM平行于y軸交AC于M，再分別以DM為底求△ADM和△DCM的面積，相加即可得出答案；

（3）令y=4或y=-4，求出x的值即可得出答案.

解：（1）直線y＝﹣x+2中，當(dāng)x = 0時(shí)，y = 2；

當(dāng)y=0時(shí)，0 =﹣x+2，解得x = 4

∴點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（0，2）、（4，0），

把A（0，2）、C（4，0）代入

解得，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+x+2；

（2）y＝﹣x2+x+2

∴拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為，

如圖1，設(shè)直線AC與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)M

直線y＝﹣x+2中，當(dāng)x = 時(shí)，y =

點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則DM=

∴△DAC的面積為=；

（3）當(dāng)P到x軸的距離為4時(shí)，則

①當(dāng)y=4時(shí)，﹣x2+x+2=4，

而，所以方程沒有實(shí)數(shù)根

②當(dāng)y= - 4時(shí)，﹣x2+x+2= - 4，

解得

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；

綜上，存在一點(diǎn)P或，使它到x軸的距離為4．