Question

【題目】AB是的直徑，點C是上一點，連接AC、BC，直線MN過點C，滿足．

（1）如圖①，求證：直線MN是的切線；

（2）如圖②，點D在線段BC上，過點D作于點H，直線DH交于點E、F，連接AF并延長交直線MN于點G，連接CE，且，若的半徑為1，，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）

【解析】

（1）由圓周角定理的推論和直角三角形的性質可得，由可得，進一步即可推出，從而可得結論；

（2）如圖②，由已知條件易求出AC的長，根據對頂角相等和圓周角定理可得∠1=∠3，根據余角的性質可得，進而可得∽，于是根據相似三角形的性質變形可得，進一步即可求出結果．

解：（1）證明：連接OC，如圖，

∵AB是的直徑，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，即，

∴MN是的切線；

（2）如圖②，∵，即，∴，

∵∠2=∠3，∠1=∠2，

∴∠1=∠3，

∵，2

∴∠1+∠AGC=90°，

∵∠3+∠ECD=90°，

∴，

又∵，

∴∽，

∴，

∴．