Question

【題目】如果把一個(gè)自然數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字從最高位到個(gè)位依次排出的一個(gè)數(shù)，與從個(gè)位到最高位依次排出的一個(gè)數(shù)完全相同，那么我們把這樣的自然數(shù)稱為“和諧數(shù)”，例如，，，都是“和諧數(shù)”．請(qǐng)你解答以下問題：

（）設(shè)一個(gè)四位“和諧數(shù)”個(gè)位上的數(shù)字，十位上的數(shù)字為，請(qǐng)你用含有、的代數(shù)式表示出這個(gè)四位數(shù)．

（）請(qǐng)說明任意一個(gè)四位“和諧數(shù)”都能被整除．

Answer 1

【答案】(1) 1000x+100y+10y+x；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)“和諧數(shù)”的定義，結(jié)合四位數(shù)的表示法寫出即可；

（2）根據(jù)“和諧數(shù)”的定義（把一個(gè)自然數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字從最高位到個(gè)位依次排出的一串?dāng)?shù)字，與從個(gè)位到最高位依次排出的一串?dāng)?shù)字完全相同）寫出四個(gè)“和諧數(shù)”，設(shè)任意四位“和諧數(shù)”形式為：，根據(jù)和諧數(shù)的定義得到a=d，b=c，則=91a+10b為正整數(shù)，易證得任意四位“和諧數(shù)”都可以被11整除；

（1）設(shè)一個(gè)四位“和諧數(shù)”個(gè)位上的數(shù)字x，十位上的數(shù)字為y，根據(jù)“和諧數(shù)”的定義得，

這個(gè)和諧數(shù)為：1000x+100y+10y+x.

（2）任意一個(gè)四位“和諧數(shù)”都能被11整除，理由如下：

設(shè)任意四位“和諧數(shù)”形式為：，則滿足：

最高位到個(gè)位排列：a，b，c，d．

個(gè)位到最高位排列：d，c，b，a．

由題意，可得兩組數(shù)據(jù)相同，則：a=d，b=c，

則 =91a+10b為正整數(shù)．

∴四位“和諧數(shù)”能被11整數(shù)，

又∵a，b，c，d為任意自然數(shù)，

∴任意四位“和諧數(shù)”都可以被11整除；