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【題目】已知在平面直角坐標系xOy中,O是坐標原點,如圖1,直角三角板△MON中,OM=ON=,OQ=1,直線l過點N和點N,拋物線y=ax2+x+c過點Q和點N.

(1)求出該拋物線的解析式;

(2)已知點P是拋物線y=ax2+x+c上的一個動點.

初步嘗試

若點Py軸右側的該拋物線上,如圖2,過點PPA⊥y軸于點A,問:是否存在點P,使得以N、P、A為頂點的三角形與△ONQ相似.若存在,求出點P的坐標,若不存在,請說明理由;

深入探究

若點P在第一象限的該拋物線上,如圖3,連結PQ,與直線MN交于點G,以QG為直徑的圓交QN于點H,交x軸于點R,連結HR,求線段HR的最小值.

【答案】(1)y=﹣x2+x+(2)①(1,)、(3,0)、(5,﹣4)②

【解析】

(1)根據待定系數法可求拋物線解析式;

(2)①分三種情況,情況一:點P在第一象限時,APN∽△ONQ,情況二:點P恰好在x軸上,情況三:P在第四象限內,進行討論可求出點P的坐標;

②連結CHCR,得到HR最小時,只需要半徑最小,即直徑最小即可.用面積法求出QG=,進一步得到HR最小值.

(1)由題意可知,Q(﹣1,0),N(0,),

c=,即y=ax2+x+,

Q(﹣1,0)代入解析式得0=a﹣+,解得a=﹣

∴拋物線解析式是y=﹣x2+x+;

(2)①分三種情況,如圖2,

情況一:點P在第一象限時,APN∽△ONQ,

AN=m,則AP=m,

P的坐標(m,m+),

而點P在拋物線上,代入可得m+=﹣m)2++m)+,

解得m=

P1(1,);

情況二:點P恰好在x軸上,P2(3,0),

情況三:P在第四象限內,同情況一方法可解得

P3(5,﹣4),

②連結CHCR,如圖3,

∵∠NQ0=60°,

∴∠HCR=120°,

CH=CR,

HR=CH,

HR最小時,只需要半徑最小,即直徑最小即可,

∴過QNM的垂線,垂直時,QG最小

∴用面積法求出,QG=

HR最小值=

練習冊系列答案
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請根據以上信息解答下列問題:

1)圖1m的值為   ;

2)統(tǒng)計的這組數據的眾數是   ;中位數是   

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