Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與⊙M相交于A、B、C、D四點。其中AB兩點的坐標(biāo)分別為(-1，0)，(0，-2)，點D在軸上且AD為⊙M的直徑。點E是⊙M與軸的另一個交點，過劣弧上的點F作FH⊥AD于點H，且FH=1.5。

(1)求點D的坐標(biāo)及該拋物線的表達式；

(2)若點P是軸上的一個動點，試求出⊿PEF的周長最小時點P的坐標(biāo)；

(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使⊿QCM是等腰三角形？如果存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由。

 

Answer 1

第(1)問求拋物線的解析式，我們知道的條件就是AB兩點的坐標(biāo)，要想求得拋物線的解析式，必須再有一個點才行。根據(jù)題意，設(shè)點M的坐標(biāo)為(，0)，根據(jù)兩點間的距離公式(半徑相等)可以求得，則點D的坐標(biāo)為(4，0)，這樣就可以根據(jù)交點式來求解拋物線的解析式：

第(2)問其實是我們初中階段經(jīng)常練習(xí)的一個軸對稱問題。要在軸上的找到一點P，使得⊿PEF的周長最小，我們先來看E，F(xiàn)兩點，這是兩個定點，也就是說EF的長度是不變的，那實際上這個題目就是求PE+PF的最小值，這就變成了軸對稱問題中最為經(jīng)典的“放羊問題”，要解決這一問題首先我們看圖中有沒有E或F的對稱點，根據(jù)題意，顯然是有E點的對稱點B的，那么連接BF與軸的交點就是我們要求的點P(2，0)。

第(3)問要在拋物線的對稱軸上找點Q，使得⊿QCM是等腰三角形，首先點M本身就在拋物線對稱軸上，其坐標(biāo)為；點C是點B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點，所以點C的坐標(biāo)為(3，-2)；求Q點的坐標(biāo)，根據(jù)題意可設(shè)Q點為()。⊿QCM是等腰三角形，則可能有三種情況，分別是QC=MC；QM=MC；QC=QM。根據(jù)這三種情況就能求得Q點的坐標(biāo)可能是或或