Question

已知，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D為AB的中點，若E在直線AC上任意一點，DF⊥DE，交直線BC于F點．G為EF的中點，延長CG交AB于點H．
（1）若E在邊AC上．
①試說明DE=DF；
②試說明CG=GH；
（2）若AE=3，CH=5．求邊AC的長．

Answer 1

解：（1）①連接CD，
∵∠ACB=90°，D為AB的中點，AC=BC，
∴CD=AD=BD，
又∵AC=BC，
∴CD⊥AB，
∴∠EDA+∠EDC=90°，∠DCF=∠DAE=45°，
∵DF⊥DE，
∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中

∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF．

②連接DG，
∵∠ACB=90°，G為EF的中點，
∴CG=EG=FG，
∵∠EDF=90°，G為EF的中點，
∴DG=EG=FG，
∴CG=DG，
∴∠GCD=∠CDG
又∵CD⊥AB，
∴∠CDH=90°，
∴∠GHD+∠GCD=90°，∠HDG+∠GDC=90°，
∴∠GHD=∠HDG，
∴GH=GD，
∴CG=GH．

（2）如圖，當E在線段AC上時，
∵CG=GH=EG=GF，
∴CH=EF=5，
∵△ADE≌△CDF，
∴AE=CF=3，
∴在Rt△ECF中，由勾股定理得：，
∴AC=AE+EC=3+4=7；
如圖，當E在線段CA延長線時，
AC=EC-AE=4-3=1，
綜合上述AC=7或1．
分析：（1）①連接CD，推出CD=AD，∠CDF=∠ADE，∠A=∠DCB，證△ADE≌△CDF即可；②連接DG，根據(jù)直角三角形斜邊上中線求出CG=EG=GF=DG，推出∠GCD=∠GDC，推出∠GDH=∠GHD，推出DG=GH即可；
（2）求出EF=5，根據(jù)勾股定理求出EC，即可得出答案．
點評：本題考查了等腰三角形性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊上的中線，全等三角形的性質(zhì)和判定的應用，主要考查學生綜合運用定理進行推理的能力，有一定的難度．