【題目】如圖1,矩形ABCD中,∠ACB30°,將△ACDC點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α0°<α360°)至△A'CD'位置.

1)如圖2,若AB2α30°,求SBCD

2)如圖3,取AA′中點(diǎn)O,連OB、OD′、BD′.若△OBD′存在,試判定△OBD′的形狀.

3)當(dāng)αα1時(shí),OBOD′,則α1   °;當(dāng)αα2時(shí),△OBD′不存在,則α2   °.

【答案】13;(2)△OBD′是直角三角形;(390°或270°,240°或300°.

【解析】

1)作D'EBCE,由直角三角形的性質(zhì)得出BC=2,CE=CD'=1D'E=,由三角形面積公式即可得出答案;
2)連接OC,證明AB、CO四點(diǎn)共圓,由圓周角定理得出∠BOC=BAC=60°,同理A'、D'、CO四點(diǎn)共圓,得出∠D'OC=D'A'C=30°,證出∠BOD'=90°即可;
3)若B、C、D'三點(diǎn)不共線,證出BC=CD,這與已知相矛盾,得出B、C、D'三點(diǎn)共線;當(dāng)α=α1時(shí),OB=OD′,分兩種情況:當(dāng)點(diǎn)D'BC的延長(zhǎng)線上和當(dāng)點(diǎn)D'在邊BC上;當(dāng)α=α2時(shí),△OBD′不存在時(shí),分兩種情況:當(dāng)OD'重合時(shí),當(dāng)OB重合時(shí),由等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)即可得出答案.

解:(1)作D'EBCBC的延長(zhǎng)線于E,如圖2所示:

則∠E=90°,

∵四邊形ABCD是矩形,

∴∠ABC=90°,ABCD,ADBC,CD=AB=2,

∴∠ACD=∠BAC,∠DAC=∠ACB=30°,

∵∠ACB=30°,

BC=AB=2,∠ACD=∠BAC=60°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:CD'=CD=2,∠ACA'=30°,

∴∠D'CE,

∴∠CD'E,

CE=CD'=1D'E=CE=,

SBCD=BC×D'E=×2×=3

2)△OBD′是直角三角形,理由如下:

連接OC,如圖3所示:

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:CA'=CA,∠A'D'C=∠ADC=90°,∠D'A'C=∠DAC=30°,

OAA′的中點(diǎn),

OCAA'

∴∠AOC=∠A'OC==∠ABC=∠A'D'C

∴∠ABC+AOC=180°,

AB、C、O四點(diǎn)共圓,

∴∠BOC=∠BAC=60°,

同理;A'D'、C、O四點(diǎn)共圓,

∴∠D'OC=∠D'A'C=30°,

∴∠BOD'=90°,

∴△BOD'是直角三角形;

3)若B、C、D'三點(diǎn)不共線,如圖3所示:

由(2)得:∠OBC=∠OAC,∠OD'C=∠OA'C,∠OAC=∠OA'C,

∴∠OBC=∠OD'C

OB=O D',

∴∠OBD'=∠OD'B

∴∠CBD'=∠CD'B,

CB=CD'

CD'=CD,

BC=CD,這與已知相矛盾,

B、C、D'三點(diǎn)共線;

分兩種情況:當(dāng)點(diǎn)D'BC的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖4所示:

∵∠ACB,∠A'CD'=∠ACD,

∴∠AC A'

α=α1;

當(dāng)點(diǎn)D'在邊BC上時(shí),如圖5所示:

∵∠ACB,∠A'CD'=∠ACD

∴∠AC A',

α=α1

故答案為:90°或270;

當(dāng)α=α2時(shí),△OBD′不存在時(shí),分兩種情況:

當(dāng)OD'重合時(shí),如圖6所示:

CA'=CA,∠CAD'=∠CA'D'=,

∴∠ACA'=120°,

α=α2

當(dāng)OB重合時(shí),如圖7所示:

AA'=2AB=4,

CA=CA'=2AB=4=AA',

∴△ACA'是等邊三角形,

∴∠A'CA=60°,

α=α2;

故答案為:240°或300

練習(xí)冊(cè)系列答案
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