【題目】在四邊形ABDC中,AC=AB,DC=DB,∠CAB=60°,∠CDB=120°,E是AC上一點(diǎn),F(xiàn)是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且CE=BF.

(1)試說(shuō)明:DE=DF;
(2)在圖中,若G在AB上且∠EDG=60°,試猜想CE、EG、BG之間的數(shù)量關(guān)系并證明此結(jié)論;
(3)若題中條件“∠CAB=60°,∠CDB=120°”改為∠CAB=α,∠CDB=180°-α,G在AB上,∠EDG滿(mǎn)足什么條件時(shí),(2)中結(jié)論仍然成立?(只寫(xiě)結(jié)果不要證明).

【答案】
(1)

解:∵∠CAB+∠C+∠CDB+∠ABD=360°,∠CAB=60°,∠CDB=120°,

∴∠C+∠ABD=360°﹣60°﹣120°=180°,

又∵∠DBF+∠ABD=180°,

∴∠C=∠DBF,

在△CDE和△BDF中,

∴△CDE≌△BDF(SAS),

∴DE=DF.


(2)

解:如圖1,連接AD,猜想CE、EG、BG之間的數(shù)量關(guān)系為:CE+BG=EG.

證明:在△ABD和△ACD中,

∴△ABD≌△ACD(SSS),

∴∠BDA=∠CDA= ∠CDB= ×120°=60°,

又∵∠EDG=60°,

∴∠CDE=∠ADG,∠ADE=∠BDG,

由(1)可知△CDE≌△BDF,

∴∠CDE=∠BDF,

∴∠BDG+∠BDF=60°,

即∠FDG=60°,

∴∠EDG=∠FDG,

在△DEG和△DFG中,

∴△DEG≌△DFG,

∴EG=FG,

又∵CE=BF,F(xiàn)G=BF+BG,

∴CE+BG=EG


(3)

解:要使CE+BG=EG仍然成立,

則∠EDG=∠BDA=∠CDA= ∠CDB,

即∠EDG= (180°﹣α)=90°﹣ α,

∴當(dāng)∠EDG=90°﹣ α?xí)r, CE+BG=EG仍然成立


【解析】(1)首先判斷出∠C=∠DBF,然后根據(jù)全等三角形判定的方法,判斷出△CDE≌△BDF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可判斷出DE=DF.
(2)猜想CE、EG、BG之間的數(shù)量關(guān)系為:CE+BG=EG.首先根據(jù)全等三角形判定的方法,判斷出△ABD≌△ACD,即可判斷出∠BDA=∠CDA=60°;然后根據(jù)∠EDG=60°,可得∠CDE=∠ADG,∠ADE=∠BDG,再根據(jù)∠CDE=∠BDF,判斷出∠EDG=∠FDG,據(jù)此推得△DEG≌△DFG,所以EG=FG,最后根據(jù)CE=BF,判斷出CE+BG=EG即可.
(3)根據(jù)(2)的證明過(guò)程,要使CE+BG=EG仍然成立,則∠EDG=∠BDA=∠CDA= ∠CDB,即∠EDG= (180°-α)=90°- α,據(jù)此解答即可.

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(1)連接AE,求證:AEF是等腰三角形;

猜想與發(fā)現(xiàn):

(2)在(1)的條件下,請(qǐng)判斷MD、MN的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,得出結(jié)論.

結(jié)論1:DM、MN的數(shù)量關(guān)系是 ;

結(jié)論2:DM、MN的位置關(guān)系是 ;

拓展與探究:

(3)如圖2,將圖1中的直角三角板ECF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°,其他條件不變,則(2)中的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎?若成立,請(qǐng)加以證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

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①若a+b=0,則|a|=|b|

②若|a|=a,則a>0

③若|a|=|b|,則ab    

④若a為有理數(shù),則|a|=|﹣a|

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

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(1)如圖1,若AB∥ON,則∠ABO的度數(shù)是;
(2)如圖2,當(dāng)∠BAD=∠ABD時(shí),試求x的值(要說(shuō)明理由);
(3)如圖3,若AB⊥OM,則是否存在這樣的x值,使得△ADB中有兩個(gè)相等的角?若存在,直接寫(xiě)出x的值;若不存在,說(shuō)明理由.(自己畫(huà)圖)

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1)若修建的斜坡BE的坡角為45°,求平臺(tái)DE的長(zhǎng);(結(jié)果保留根號(hào))

2)一座建筑物GH距離A36米遠(yuǎn)(即AG36米),小明在D處測(cè)得建筑物頂部H的仰角(即∠HDM)為30°.點(diǎn)BC、A、G、H在同一個(gè)平面內(nèi),點(diǎn)C、A、G在同一條直線上,且HG⊥CG,求建筑物GH的高度.(結(jié)果保留根號(hào))

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(1)本次調(diào)查中,張老師一共調(diào)查了 名同學(xué),其中C類(lèi)女生有 名,D類(lèi)男生有 名;

(2)將上面的條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;

(3)為了共同進(jìn)步,張老師想從被調(diào)查的A類(lèi)和D類(lèi)學(xué)生中分別選取一位同學(xué)進(jìn)行“一幫一”互助學(xué)習(xí),請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)形圖的方法求出所選兩位同學(xué)恰好是一位男同學(xué)和一位女同學(xué)的概率.

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