Question

圖形可以幫助刻畫和描述問題；圖形可以幫助發(fā)現(xiàn)和尋找解決問題的思路；圖形可以幫助表述和記憶一些結(jié)果．積累一些圖形模塊，在類比發(fā)現(xiàn)中你會(huì)體驗(yàn)到問題解決的輕松，看圖想事，看圖說理一定會(huì)讓你受益匪淺！
【探索與發(fā)現(xiàn)】
如圖（1），梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O．則

S△ABD

S△BCD

=

OA

OC

成立嗎？試說明理由．
【思路與分析】
過點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥BD于點(diǎn)F．由于△ABD與△BCD同底不同高，所以二者的面積比可以轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)高的比；容易得到△AOE∽△COF，從而據(jù)相似三角形的性質(zhì)，借助等量

AE

CF

的代換，

S△ABD

S△BCD

=

OA

OC

成立．如圖（2），對(duì)于四邊形ABCD，

S△ABD

S△BCD

=

OA

OC

的結(jié)論是否正確？試說明理由．
【應(yīng)用與綜合】
圖（2）中的四邊形ABCD沿BD邊對(duì)折，連接并延長AC交BD（或其延長線）于點(diǎn)E，圖（3）和圖（4）是由此可能得到的情形：
在圖（3）的情形下，試比較大�。�

S△ABD

S△BCD

 

AE

CE

；（用“＞”或“＜”或“=”填空）
在圖（4）的情形下，試比較大小：

S△ABD

S△BCD

 

AE

CE

；（用“＞”或“＜”或“=”填空）
【拓展與延伸】
（1）如圖（5），E、F分別是△ABC兩邊AB、AC的中點(diǎn)，線段BF、CE相交于點(diǎn)P，則

CP

PE

=

 

；
（2）如圖（6），E、F分別是△ABC兩邊AB、AC上的點(diǎn)，且 AE=mEB，AF=nFC，線段BF、CE相交于點(diǎn)P，則

CP

PE

=

 

．
（3）如圖（7），在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，連接并延長AP、BP、CP，分別交對(duì)邊于點(diǎn)D、E、F，則

PD

AD

+

PE

BE

+

PF

CF

=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：【探索與發(fā)現(xiàn)】如圖（2），過點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥BD于點(diǎn)F．由于△ABD與△BCD同底不同高，所以二者的面積比可以轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)高的比；容易得到△AOE∽△COF，從而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，借助等量

AE

CF

的代換，

S△ABD

S△BCD

=

OA

OC

成立；
【應(yīng)用與綜合】
在圖（3）的情形下，過點(diǎn)A作AM⊥BD于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CN⊥BD于點(diǎn)N．由于△ABD與△BCD同底不同高，所以二者的面積比可以轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)高的比；容易得到△AME∽△CNE，從而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，借助等量

AM

CN

的代換，得到

S△ABD

S△BCD

=

AE

CE

；
在圖（4）的情形下，過點(diǎn)A作AM⊥BD于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CN⊥BD于點(diǎn)N．由于△ABD與△BCD同底不同高，所以二者的面積比可以轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)高的比；容易得到△AME∽△CNE，從而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，借助等量

AM

CN

的代換，得到

S△ABD

S△BCD

=

AE

CE

；
【拓展與延伸】
（1）如圖（5），連結(jié)EF．利用同高不同底的三角形面積比等于底之比，可得

S△BCP

S△BPE

=

CP

PE

，

S△PCF

S△PEF

=

CP

PE

，再利用等比性質(zhì)，可得

S△BCF

S△BEF

=

CP

PE

，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及三角形中位線定理即可得出

CP

PE

=

BC

EF

=2；
（2）如圖（6），連結(jié)EF．由前面結(jié)論可知，

S△BCF

S△BEF

=

CP

PE

，又S_△BCF=

1

n+1

S_△ABC，那么S_△ABF=

n

n+1

S_△ABC，S_△BCF=

1

n

S_△ABF，S_△BEF=

1

m+1

S_△ABF，進(jìn)而得出

CP

PE

=

m+1

n

；
（3）如圖（7），利用同高不同底的三角形面積比等于底之比，可得S_△BDP：S_△ABD=DP：AD，S_△CDP：S_△ACD=DP：AD，再利用等比性質(zhì)，可得S_△BCP：S_△ABC=PD：AD①，同理可得，S_△ACP：S_△ABC=PE：BE②，S_△ABP：S_△ABC=PF：CF③，①+②+③即可得出

PD

AD

+

PE

BE

+

PF

CF

=1．

解答：解：【探索與發(fā)現(xiàn)】如圖（2），對(duì)于四邊形ABCD，

S△ABD

S△BCD

=

OA

OC

的結(jié)論正確．理由如下：
過點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥BD于點(diǎn)F．
∵△ABD與△BCD同底不同高，
∴

S△ABD

S△BCD

=

AE

CF

．
∵△AOE∽△COF，
∴

OA

OC

=

AE

CF

，
∴

S△ABD

S△BCD

=

OA

OC

；

【應(yīng)用與綜合】
如圖（3），過點(diǎn)A作AM⊥BD于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CN⊥BD于點(diǎn)N．
∵△ABD與△BCD同底不同高，
∴

S△ABD

S△BCD

=

AM

CN

．
∵△AME∽△CNE，
∴

AE

CE

=

AM

CN

，
∴

S△ABD

S△BCD

=

AE

CE

；
如圖（4），過點(diǎn)A作AM⊥BE于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CN⊥BE于點(diǎn)N．
∵△ABD與△BCD同底不同高，
∴

S△ABD

S△BCD

=

AM

CN

．
∵△AME∽△CNE，
∴

AE

CE

=

AM

CN

，
∴

S△ABD

S△BCD

=

AE

CE

；

【拓展與延伸】
（1）如圖（5），連結(jié)EF．
∵

S△BCP

S△BPE

=

CP

PE

，

S△PCF

S△PEF

=

CP

PE

，
∴

S△BCP+S△PCF

S△BPE+S△PEF

=

CP

PE

，
即

S△BCF

S△BEF

=

CP

PE

．
∵E、F分別是△ABC兩邊AB、AC的中點(diǎn)，
∴EF∥BC，EF=

1

2

BC，
∴△BCP∽△FEP，
∴

CP

PE

=

BC

EF

=2；
（2）如圖（6），連結(jié)EF．
由前面結(jié)論可知，

S△BCF

S△BEF

=

CP

PE

．
∵△BCF與△ABF同高不同底，AF=nFC，
∴

S△BCF

S△ABF

=

CF

AF

=

1

n

，
∴S_△BCF=

1

n

S_△ABF，
∵△BEF與△ABF同高不同底，AE=mEB，
∴

S△BEF

S△ABF

=

BE

AB

=

1

m+1

，
∴S_△BEF=

1

m+1

S_△ABF，
∴

S△BCF

S△BEF

=

1 n S△ABF

1 m+1 S△ABF

=

m+1

n

，
∴

CP

PE

=

m+1

n

；
（3）如圖（7），
∵S_△BDP：S_△ABD=PD：AD，S_△CDP：S_△ACD=PD：AD，
∴（S_△BDP+S_△CDP）：（S_△ABD+S_△ACD）=PD：AD，
∴S_△BCP：S_△ABC=PD：AD①，
同理S_△ACP：S_△ABC=PE：BE②，S_△ABP：S_△ABC=PF：CF③，
①+②+③，得（S_△BCP+S_△ACP+S_△ABP）：S_△ABC=

PD

AD

+

PE

BE

+

PF

CF

，
∵S_△BCP+S_△ACP+S_△ABP=S_△ABC，
∴

PD

AD

+

PE

BE

+

PF

CF

=1．
故答案為=；=；2；

m+1

n

；1．

點(diǎn)評(píng)：本題是相似形綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積公式、等比性質(zhì)，注意同底不同高的兩個(gè)三角形面積比等于它們對(duì)應(yīng)高的比，同高不同底的兩個(gè)三角形面積比等于它們的底之比．