Question

如圖，點P是?ABCD內的任意一點，連接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，設它們的面積分別是S₁、S₂、S₃、S₄，給出如下結論：
①S₁+S₃=S₂+S₄；②如果S₄＞S₂，則S₃＞S₁；③若S₃=2S₁，則S₄=2S₂；④若S₁-S₂=S₃-S₄，則P點一定在對角線BD上．
其中正確的有（　�。�

• A、①③
• B、②④
• C、②③
• D、①④

Answer 1

考點：平行四邊形的性質

專題：

分析：根據平行四邊形的對邊相等可得AB=CD，AD=BC，設點P到AB、BC、CD、DA的距離分別為h₁、h₂、h₃、h₄，然后利用三角形的面積公式列式整理即可判斷出①正確；根據三角形的面積公式即可判斷②③錯誤；根據已知進行變形，求出S₁+S₄=S₂+S₃=S_△ABD=S_△BDC=

1

2

S_{平行四邊形ABCD}，即可判斷④．

解答：解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，
設點P到AB、BC、CD、DA的距離分別為h₁、h₂、h₃、h₄，
則S₁=

1

2

ABh₁，S₂=

1

2

BCh₂，S₃=

1

2

CDh₃，S₄=

1

2

ADh₄，
∵

1

2

ABh₁+

1

2

CDh₃=

1

2

AB•BC，

1

2

BCh₂+

1

2

ADh₄=

1

2

AB•CD，
∴S₂+S₄=S₁+S₃，故①正確；
根據S₄＞S₂只能判斷h₄＞h₂，不能判斷h₃＞h₁，即不能得出S₃＞S₁，∴②錯誤；
根據S₃=2S₁，能得出h₃=2h₁，不能推出h₄=2h₂，即不能推出S₄=2S₂，∴③錯誤；
∵S₁-S₂=S₃-S₄，
∴S₁+S₄=2₂+S₃=

1

2

S_{平行四邊形ABCD}，
如圖所示：

此時S₁+S₄=S₂+S₃=S_△ABD=S_△BDC=

1

2

S_{平行四邊形ABCD}，
即P點一定在對角線BD上，∴④正確；
故選D．

點評：本題考查了矩形的性質，三角形的面積，以及矩形對角線上點的判定的應用，用矩形的面積表示出相對的兩個三角形的面積的和是解題的關鍵，也是本題的難點．