【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠DAC是△ABC的一個外角.
實驗與操作:
根據(jù)要求進(jìn)行尺規(guī)作圖,并在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母(保留作圖痕跡,不寫作法)

(1)作∠DAC的平分線AM;
(2)作線段AC的垂直平分線,與AM交于點(diǎn)F,與BC邊交于點(diǎn)E,連接AE,CF.
猜想并證明:
判斷四邊形AECF的形狀并加以證明.

【答案】
(1)解:如圖所示


(2)解:四邊形AECF的形狀為菱形.理由如下:

∵AB=AC,

∴∠ABC=∠ACB,

∵AM平分∠DAC,

∴∠DAM=∠CAM,

而∠DAC=∠ABC+∠ACB,

∴∠CAM=∠ACB,

∴EF垂直平分AC,

∴OA=OC,∠AOF=∠COE,

在△AOF和△COE中

∴△AOF≌△COE,

∴OF=OE,

即AC和EF互相垂直平分,

∴四邊形AECF的形狀為菱形


【解析】先作以個角的交平分線,再作線段的垂直平分線得到幾何圖形,由AB=AC得∠ABC=∠ACB,由AM平分∠DAC得∠DAM=∠CAM,則利用三角形外角性質(zhì)可得∠CAM=∠ACB,再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得OA=OC,∠AOF=∠COE,于是可證明△AOF≌△COE,所以O(shè)F=OE,然后根據(jù)菱形的判定方法易得四邊形AECF的形狀為菱形.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用角平分線的性質(zhì)定理和線段垂直平分線的性質(zhì),掌握定理1:在角的平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等; 定理2:一個角的兩邊的距離相等的點(diǎn),在這個角的平分線上;垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線;線段垂直平分線的性質(zhì)定理:線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等即可以解答此題.

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( 。

等量代換

( 。

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已知

  ( 

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( 。

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(2)如圖2,若AB= BC=kAC,AD =ED=kAE 則線段BDCE的數(shù)量關(guān)系為 ,∠BMC= (用α表示);

(3)在(2)的條件下,把△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)180°,在備用圖中作出旋轉(zhuǎn)后的圖形(要求:尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡),連接 EC并延長交BD于點(diǎn)M.則∠BMC= (用α表示).

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