【題目】已知:點C、A、D在同一條直線上,∠ABC=∠ADE=α,線段 BDCE交于點M

(1)如圖1,若AB=AC,AD=AE

①問線段BDCE有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說明理由;②求∠BMC的大小(用α表示);

(2)如圖2,若AB= BC=kAC,AD =ED=kAE 則線段BDCE的數(shù)量關(guān)系為 ,∠BMC= (用α表示);

(3)在(2)的條件下,把△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)180°,在備用圖中作出旋轉(zhuǎn)后的圖形(要求:尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡),連接 EC并延長交BD于點M.則∠BMC= (用α表示).

【答案】(1)①BD=CE,理由見解析,②180°-2α′;(2)BD=kCE,;(3)畫圖見解析,∠BMC=

【解析】分析:(1①先根據(jù)等腰三角形等角對等邊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理得出∠DAE=BAC,則∠BAD=CAE,再根據(jù)SAS證明ABD≌△ACE,從而得出BD=CE②先由全等三角形的對應(yīng)角相等得出∠BDA=CEA,再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得出∠BMC=DAE=180°-2α;(2)先根據(jù)等腰三角形等角對等邊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理得出∠DAE=BAC=90°-α,則∠BAD=CAE,再由AB=kAC,AD=kAE,得出ABAC=ADAE=k,則根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例,且夾角相等的兩三角形相似證出ABD∽△ACE,得出BD=kCE,BDA=CEA,然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得出∠BMC=DAE=90°-α;(3)先在備用圖中利用SSS作出旋轉(zhuǎn)后的圖形,再根據(jù)等腰三角形等角對等邊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理得出∠DAE=BAC=90°-α,由AB=kAC,AD=kAE,得出ABAC=ADAE=k,從而證出ABD∽△ACE,得出∠BDA=CEA,然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得出∠BMC=90°+α

本題解析(1)①BD=CE∵AD=AE,∴∠AED=∠ADE=α

∴∠DAE=180°-2∠ADE=180°-2α,同理可得:∠BAC=180°-2α

∴∠DAE =∠BAC∴∠DAE+∠BAE =∠BAC+∠BAE

即:∠BAD =∠CAE

在△ABD與△ACE中

,

∴△ABD≌△ACE(SAS)

∴BD=CE

② ∵△ABD≌△ACE

∴∠BDA =∠CEA

∵∠BMC=∠MCD+∠MDC

∴∠BMC=∠MCD+∠CEA

=∠EAD=180°-2α′

(2)如圖2.

∵AD=ED,∠ADE=α,

∴∠DAE= ,

同理可得:∠BAC=90°12α,

∴∠DAE=∠BAC,

∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE,

即:∠BAD=∠CAE.

∵AB=kAC,AD=kAE,

∴AB:AC=AD:AE=k.

在△ABD與△ACE中,

∵AB:AC=AD:AE=k,∠BDA=∠CEA,

∴△ABD∽△ACE,

∴BD:CE=AB:AC=AD:AE=k,∠BDA=∠CEA,

∴BD=kCE;

∵∠BMC=∠MCD+∠MDC,

∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=90°α.

(3)畫圖:∠BMC=

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