Question

18．如圖1，矩形ABCD，AD＞AB＞$\frac{1}{2}$AC，P和Q兩點分別從點A出發(fā)，點P沿著A-C-D的折線段以每秒2各單位長度運動，同時點Q沿著AD線段以每秒1各單位長度運動，AP的中垂線交AD于點M，設(shè)QM的長為y，運動時間為x，y與x的關(guān)系如圖2所示：．
（1）AB=3，AD=4；
（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（3）求x為何值時，DQ=DP？

Answer 1

分析 （1）如圖1中，當(dāng)點P運動到與點C重合時，AC=5，AQ=$\frac{5}{2}$，QM=$\frac{5}{8}$，利用△ANM∽△ADC解決問題．
（2）分三種情形：①0≤x$≤\frac{5}{2}$，②$\frac{5}{2}$＜x≤5-$\sqrt{5}$，③5-$\sqrt{5}$＜x≤4，分別進(jìn)行計算即可．
（3）分兩種情形討論：①點P在AC上，②點P在CD上，分別想辦法列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，當(dāng)點P運動到與點C重合時，AC=5，AQ=$\frac{5}{2}$，QM=$\frac{5}{8}$，
∵M(jìn)N垂直平分AC，
∴AM=MC=$\frac{5}{2}$+$\frac{5}{8}$=$\frac{25}{8}$，
在RT△AMN中，∵∠ANM=90°，AM=$\frac{25}{8}$，AN=$\frac{5}{2}$，
∴MN=$\sqrt{A{M}^{2}-A{N}^{2}}$=$\frac{15}{8}$，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴BC=AD，AB=CD，∠D=90°
∵∠NAM=∠DAC，∠ANM=∠ADC=90°，
∴△ANM∽△ADC，
∴$\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AD}=\frac{NM}{CD}$，
∴$\frac{\frac{25}{8}}{5}$=$\frac{\frac{5}{2}}{AD}$=$\frac{\frac{15}{8}}{CD}$，
∴AD=4，CD=3，
∴AB=CD=3，
故答案分別為3，4．
（2）①當(dāng)0≤x$≤\frac{5}{2}$時，由圖象可知y=$\frac{1}{4}$x．
②如圖2中，當(dāng)點P與點Q重合時，在RT△PDQ中，AM=MP=x，DM=4-x，DP=8-2x，
∵M(jìn)P²=DM²+DP²，
∴x²=（4-x）²+（8-2x）²，
∴x=5-$\sqrt{5}$（或5+$\sqrt{5}$舍棄）．
∴當(dāng)$\frac{5}{2}$＜x≤5-$\sqrt{5}$時，Y=AM-AQ，
由△ANM∽△ADP得$\frac{AN}{AD}$=$\frac{AM}{AP}$，
∵AP=$\sqrt{A{D}^{2}+D{P}^{2}}$=$\sqrt{16+（8-2t）^{2}}$，AN=$\frac{1}{2}AP$，AD=4，
∴AM=$\frac{1}{2}$x²-4x+10，
∴y=AM-AQ=$\frac{1}{2}$x²-4x+10-x=$\frac{1}{2}$x²-5x+10．
③當(dāng)5-$\sqrt{5}$＜x≤4時，y=AQ-AM=x-（$\frac{1}{2}$x²-4x+10）=-$\frac{1}{2}$X²+5X-10．
綜上所述y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}x}&{（0≤x≤\frac{5}{2}）}\\{\frac{1}{2}{x}^{2}-5x+10}&{（\frac{5}{2}＜x≤5-\sqrt{5}）}\\{-\frac{1}{2}{x}^{2}+5x-10}&{（5-\sqrt{5}＜x≤4）}\end{array}\right.$．
（3）如圖3中，DP=DQ，作DN⊥AC于N，
∵$\frac{1}{2}$•AC•DN=$\frac{1}{2}$•AD•DC，
∴DN=$\frac{AD•CD}{AC}$=$\frac{12}{5}$，AN=$\sqrt{A{D}^{2}-D{N}^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
在RT△DPN中，∵∠DNP=90°，DP=DQ=4-x，DN=$\frac{12}{5}$，
∴PN²=DP²-DN²=（4-x）²-（$\frac{12}{5}$）²，
又∵PN=AN-AP=$\frac{16}{5}$-2x，
∴（$\frac{16}{5}$-2x）²=（4-x）²-（$\frac{12}{5}$）²，
∴x=$\frac{8}{5}$（或0不合題意舍棄）．
當(dāng)點P在CD上時，如果DQ=DP，則D、Q、P重合，DQ=DP=0不合題意．
∴x=$\frac{8}{5}$時，DQ=DP．

點評 本題考查動點問題的函數(shù)圖象、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)，把問題轉(zhuǎn)化為方程解決，屬于中考壓軸題．