Question

【題目】問題情境:在綜合實踐課上，老師讓同學(xué)們以“菱形紙片的剪拼”為主題開展數(shù)學(xué)活動，如圖（1），將一張菱形紙片ABCD（∠BAD＝60°）沿對角線AC剪開，得到△ABC和△ACD

操作發(fā)現(xiàn):（1）將圖（1）中的△ABC以A為旋轉(zhuǎn)中心，順時針方向旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜60°）得到如圖（2）所示△ABC′，分別延長BC′和DC交于點E，發(fā)現(xiàn)CE＝C′E．請你證明這個結(jié)論．

（2）在問題（1）的基礎(chǔ)上，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α等于多少度時，四邊形ACEC′是菱形？請你利用圖（3）說明理由．

拓展探究:（3）在滿足問題（2）的基礎(chǔ)上，過點C′作C′F⊥AC，與DC交于點F．試判斷AD、DF與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)α＝30°時，四邊形AC′EC是菱形，理由見解析；（3）AD+DF＝AC，理由見解析

【解析】

（1）先判斷出∠ACC′=∠AC′C，進而判斷出∠ECC′=∠EC′C，即可得出結(jié)論；
（2）判斷出四邊形AC′EC是平行四邊形，即可得出結(jié)論；
（3）先判斷出HAC′是等邊三角形，得出AH=AC′，∠H=60°，再判斷出△HDF是等邊三角形，即可得出結(jié)論．

（1）證明：如圖2，連接CC′，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠ACD＝∠AC′B＝30°，AC＝AC′，

∴∠ACC′＝∠AC′C，

∴∠ECC′＝∠EC′C，

∴CE＝C′E；

（2）當(dāng)α＝30°時，四邊形AC′EC是菱形，

理由：∵∠DCA＝∠CAC′＝∠AC′B＝30°，

∴CE∥AC′，AC∥C′E，

∴四邊形AC′EC是平行四邊形，

又∵CE＝C′E，

∴四邊形AC′EC是菱形；

（3）AD+DF＝AC．

理由：如圖4，分別延長CF與AD交于點H，

∵∠DAC＝∠C′AC＝30°，C′F⊥AC，

∴∠AC′H＝∠DAC′＝60°，

∴△HAC′是等邊三角形，

∴AH＝AC′，∠H＝60°，

又∵AD＝DC，

∴∠DAC＝∠DCA＝30°，

∴∠HDC＝∠DAC+∠DCA＝60°，

∴△HDF是等邊三角形，

∴DH＝DF，

∴AD+DF＝AD+DH＝AH．

∵AC′＝AC，

∴AC＝AD+DF．