Question

18．如圖，點C在以AB為直徑的⊙O上，AD與過點C的切線垂直，垂足為點D，AD交⊙O于點E．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）連接BE交AC于點F，若cos∠CAD=$\frac{4}{5}$，求$\frac{AF}{FC}$的值．

Answer 1

分析 （1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)和已知求出OC∥AD，求出∠OCA=∠CAO=∠DAC，即可得出答案；
（2）連接BE、BC、OC，BE交AC于F交OC于H，根據(jù)cos∠CAD=$\frac{4}{5}$=$\frac{AD}{AC}$，設(shè)AD=4a，AC=5a，則DC=EH=HB=3a，根據(jù)cos∠CAB=$\frac{4}{5}$=$\frac{AC}{AB}$，求出AB、BC，再根據(jù)勾股定理求出CH，由此即可解決問題；

解答 （1）證明：連接OC，

∵CD是⊙O的切線，
∴CD⊥OC，
又∵CD⊥AD，
∴AD∥OC，
∴∠CAD=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∴∠CAD=∠CAO，
即AC平分∠DAB；
（2）解：連接BE、BC、OC，BE交AC于F交OC于H．

∵AB是直徑，
∴∠AEB=∠DEH=∠D=∠DCH=90°，
∴四邊形DEHC是矩形，
∴∠EHC=90°即OC⊥EB，
∴DC=EH=HB，DE=HC，
∵cos∠CAD=$\frac{4}{5}$=$\frac{AD}{AC}$，設(shè)AD=4a，AC=5a，則DC=EH=HB=3a，
∵cos∠CAB=$\frac{4}{5}$=$\frac{AC}{AB}$，
∴AB=$\frac{25}{4}$a，BC=$\frac{15}{4}$a，
在RT△CHB中，CH=$\sqrt{C{B}^{2}-B{H}^{2}}$=$\frac{9}{4}$a，
∴DE=CH=$\frac{9}{4}$a，AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\frac{7}{4}$a，
∵EF∥CD，
∴$\frac{AF}{FC}$=$\frac{AE}{ED}$=$\frac{7}{9}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判定，勾股定理，圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系的應(yīng)用，能靈活運用知識點進行推理是解此題的關(guān)鍵．