Question

如圖，已知正方形在直角坐標系中，點分別在軸、軸的正半軸上，點在坐標原點.等腰直角三角板的直角頂點在原點，分別在上，且將三角板繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至的位置，連結(jié)

（1）求證：

（2）若三角板繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一周，是否存在某一位置，使得若存在，請求出此時點的坐標；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析（2）存在，或

【解析】（1）證明：∵四邊形為正方形，∴

∵三角板是等腰直角三角形，∴

又三角板繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至的位置時，

∴···························· 3分

（2）存在.································· 4分

∵

∴過點與平行的直線有且只有一條，并與垂直，

又當三角板繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一周時，則點在以為圓心，以為半徑的圓上，

························ 5分

∴過點與垂直的直線必是圓的切線，又點是圓外一點，過點與圓相切的直線有且只有2條，不妨設為和

此時，點分別在點和點，滿足

·························· 7分

當切點在第二象限時，點在第一象限，

在直角三角形中，

∴∴

∴點的橫坐標為：

點的縱坐標為：

∴點的坐標為··························· 9分

當切點在第一象限時，點在第四象限，

同理可求：點的坐標為

綜上所述，三角板繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一周，存在兩個位置，使得此時點的坐標為或································ 11分

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找到相等的線段，根據(jù)SAS定理證明；

（2）由于△OEF是等腰Rt△，若OE∥CF，那么CF必與OF垂直；在旋轉(zhuǎn)過程中，E、F的軌跡是以O為圓心，OE（或OF）長為半徑的圓，若CF⊥OF，那么CF必為⊙O的切線，且切點為F；可過C作⊙O的切線，那么這兩個切點都符合F點的要求，因此對應的E點也有兩個；在Rt△OFC中，OF=2，OC=OA=4，可證得∠FCO=30°，即∠EOC=30°，已知了OE的長，通過解直角三角形，不難得到E點的坐標，由此得解．