【題目】如圖1,△ABC是等腰三角形,O是底邊BC中點,腰AB與⊙O相切于點D
(1)求證:AC是⊙O的切線;
(2)如圖2,連接CD,若tan∠BCD=,⊙O的半徑為,求BC的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)BC=6.
【解析】
(1)連接OD,作OF⊥AC于F,如圖,利用等腰三角形的性質(zhì)得AO⊥BC,AO平分∠BAC,再根據(jù)切線的性質(zhì)得OD⊥AB,然后利用角平分線的性質(zhì)得到OF=OD,從而根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論;
(2)過D作DF⊥BC于F,連接OD,根據(jù)三角函數(shù)的定義得到,設(shè)DF=a,OF=x,則CF=4a,OC=4a-x根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.
(1)證明:連接OD,OA,作OF⊥AC于F,如圖,
∵△ABC為等腰三角形,O是底邊BC的中點,
∴AO⊥BC,AO平分∠BAC,
∵AB與⊙O相切于點D,
∴OD⊥AB,
而OF⊥AC,
∴OF=OD,
∴AC是⊙O的切線;
(2)過D作DF⊥BC于F,連接OD,
∵tan∠BCD=,
∴,
設(shè)DF=a,OF=x,則CF=4a,OC=4a﹣x,
∵O是底邊BC中點,
∴OB=OC=4a﹣x,
∴BF=OB﹣OF=4a﹣2x,
∵OD⊥AB,
∴∠BDO=90°,
∴∠BDF+∠FDO=90°,
∵DF⊥BC,
∴∠DFB=∠OFD=90°,∠FDO+∠DOF=90°,
∴∠BDF=∠DOF,
∴△DFO∽△BFD,
∴,
∴,
解得:x1=x2=a,
∵⊙O的半徑為,
∴OD=,
∵DF2+FO2=DO2,
∴(x)2+x2=()2,
∴x1=x2=a=1,
∴OC=4a﹣x=3,
∴BC=2OC=6.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,頂點坐標(biāo)為(2,﹣1)的拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與y軸交于點C(0,3),與x軸交于A、B兩點.
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)設(shè)拋物線的對稱軸與直線BC交于點D,連接AC、AD,求△ACD的面積;
(3)點E為直線BC上一動點,過點E作y軸的平行線EF,與拋物線交于點F.問是否存在點E,使得以D、E、F為頂點的三角形與△BCO相似?若存在,求點E的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為落實“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念,某市政部門招標(biāo)一工程隊負(fù)責(zé)在山腳下修建一座水庫的土方施工任務(wù).該工程隊有兩種型號的挖掘機(jī),已知3臺型和5臺型挖掘機(jī)同時施工一小時挖土165立方米;4臺型和7臺型挖掘機(jī)同時施工一小時挖土225立方米.每臺型挖掘機(jī)一小時的施工費用為300元,每臺型挖掘機(jī)一小時的施工費用為180元.
(1)分別求每臺型, 型挖掘機(jī)一小時挖土多少立方米?
(2)若不同數(shù)量的型和型挖掘機(jī)共12臺同時施工4小時,至少完成1080立方米的挖土量,且總費用不超過12960元.問施工時有哪幾種調(diào)配方案,并指出哪種調(diào)配方案的施工費用最低,最低費用是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場計劃購進(jìn)一批甲、乙兩種玩具,已知一件甲種玩具的進(jìn)價與一件乙種玩具的進(jìn)價的和為40元,用90元購進(jìn)甲種玩具的件數(shù)與用150元購進(jìn)乙種玩具的件數(shù)相同.
(1)求每件甲種、乙種玩具的進(jìn)價分別是多少元?
(2)商場計劃購進(jìn)甲、乙兩種玩具共48件,其中甲種玩具的件數(shù)少于乙種玩具的件數(shù),商場決定此次進(jìn)貨的總資金不超過1000元,求商場共有幾種進(jìn)貨方案?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場購進(jìn)一種每件價格為90元的新商品,在商場試銷時發(fā)現(xiàn):銷售單價元件與每天銷售量件之間滿足如圖所示的關(guān)系.
求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
寫出每天的利潤W與銷售單價x之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出售價定為多少時,每天獲得的利潤最大?最大利潤是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y=2x+2與y軸交于A點,與反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象交于點M,過M作MH⊥x軸于點H,且tan∠AHO=2.
(1)求H點的坐標(biāo)及k的值;
(2)點P在y軸上,使△AMP是以AM為腰的等腰三角形,請直接寫出所有滿足條件的P點坐標(biāo);
(3)點N(a,1)是反比例函數(shù)y=(x>0)圖象上的點,點Q(m,0)是x軸上的動點,當(dāng)△MNQ的面積為3時,請求出所有滿足條件的m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,AC與BD相交于點O,AB=4,BD=4,E為AB的中點,點P為線段AC上的動點,則EP+BP的最小值為( 。
A. 4B. 2C. 2D. 8
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+nb=0(1≤n≤3,n為整數(shù)),其中a是從2、4、6三個數(shù)中任取的一個數(shù),b是從1、3、5三個數(shù)中任取的一個數(shù),定義“方程有實數(shù)根”為事件An(n=1,2,3),當(dāng)An的概率最小時,n的所有可能值為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在“書香校園”活動中,某校為了解學(xué)生家庭藏書情況,隨機(jī)抽取本校部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,并繪制成部分統(tǒng)計圖表如下:
類別 | 家庭藏書m本 | 學(xué)生人數(shù) |
A | 0≤m≤25 | 20 |
B | 26≤m≤100 | a |
C | 101≤m≤200 | 50 |
D | m≥201 | 66 |
根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)該調(diào)查的樣本容量為_____,a=_____;
(2)在扇形統(tǒng)計圖中,“A”對應(yīng)扇形的圓心角為_____°;
(3)若該校有2000名學(xué)生,請估計全校學(xué)生中家庭藏書200本以上的人數(shù).
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