Question

【題目】如圖，已知直線y=﹣x+2與拋物線y=a（x+2）2相交于A、B兩點，點A在y軸上，M為拋物線的頂點．

（1）請直接寫出點A的坐標及該拋物線的解析式；

（2）若P為線段AB上一個動點（A、B兩端點除外），連接PM，設(shè)線段PM的長為，點P的橫坐標為x，請求出與x之間的函數(shù)關(guān)系，并直接寫出自變量x的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，線段AB上是否存在點P，使以A、M、P為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）、A（0,2）；y=；（2）、；﹣5＜x＜0；（3）、P1（﹣4，4）、P2（﹣，）、P3（﹣，）

【解析】

試題分析：（1）、根據(jù)一次函數(shù)的交點得出點A的坐標，從而得出拋物線的解析式；（2）、連接PM，過點P作PD⊥x軸于點D，設(shè)P的坐標是（x，﹣x+2），根據(jù)Rt△PDM的勾股定理得出函數(shù)解析式；（3）、首先求出AM=2，然后分PM=PA，PM=AM和PA=AM三種情況列出方程，從而求出x的值，得出點P的坐標.

試題解析：（1）、A的坐標是（0，2） 拋物線的解析式是y=（x+2）2

（2）、如圖，P為線段AB上任意一點，連接PM

過點P作PD⊥x軸于點D 設(shè)P的坐標是（x，﹣x+2），則在Rt△PDM中PM2=DM2+PD2

即l2=（﹣2﹣x）2+（﹣x+2）2=x2+2x+8

P為線段AB上一個動點，故自變量x的取值范圍為：﹣5＜x＜0，

（3）、存在滿足條件的點P 連接AM，由題意得：AM==2

①當PM=PA時，x2+2x+8=x2+（﹣x+2﹣2）2

解得：x=﹣4 此時y=﹣×（﹣4）+2=4

∴點P1（﹣4，4）

②當PM=AM時，x2+2x+8=（2）2

解得：x1=﹣ x2=0（舍去）

此時y=﹣×（﹣）+2=

∴點P2（﹣，）

③當PA=AM時，x2+（﹣x+2﹣2）2=（2）2

解得：x1=﹣ x2=（舍去）

此時y=﹣×（﹣）+2=

∴點P3（﹣，）

綜上所述，滿足條件的點為：

P1（﹣4，4）、P2（﹣，）、P3（﹣，）