Question

已知AB為⊙O的直徑，AC和AD為弦，AB=2，AC=，AD=1，求∠CAD的度數(shù)．

Answer 1

解：分兩種情況考慮：
①如圖（1），連接OC、OD，
在⊙O中，AB=2，
∴OA=OC=OD=AB=1，
∵1²+1²=（）²，即OA²+OC²=AC²，
∴∠AOC=90°，∠CAO=45°，
又∵AD=1，
∴OA=OD=AD，
∴△AOD是等邊三角形，
∴∠OAD=60°，
∴∠CAD=∠OAD-∠OAC=15°；
②如圖（2），連接OC，OD，
在⊙O中，AB=2，∴OA=OC=OD=AB=1，
∵1²+1²=（）²，即OA²+OC²=AC²，
∴∠AOC=90°，∠CAO=45°，
∵AD=1，∴OA=OD=AD，
∴△AOD是等邊三角形，
∴∠OAD=60°，
∴∠CAD=∠OAD+∠CAO=105°，
綜上，∠CAD等于105°或15°．
分析：分兩種情況考慮：①如圖（1），連接OC、OD，在⊙O中，AB=2，得到半徑為1，再利用勾股定理的逆定理得到三角形AOC為等腰直角三角形，再由AD=OA=OC得到三角形AOD為等邊三角形，由∠OAD-∠OAC即可求出∠CAD的度數(shù)；②如圖（2），連接OC，OD，同理由∠OAD+∠OAC即可求出∠CAD的度數(shù)．
點評：此題考查了垂徑定理，勾股定理，以及解直角三角形，熟練掌握垂徑定理是解本題的關鍵．