Question

（2013•沙市區(qū)一模）如圖，已知AB為⊙O的直徑，PA與⊙O相切與點A，線段OP與弦AC垂直并相交于點D，OP與⊙O相交于點E，連接BC．
（1）求證：△PAD∽△ABC；
（2）若PA=10，AD=6，求AB和PE的長．

Answer 1

分析：（1）由PA為圓O的切線，利用切線的性質得到AP垂直于AB，可得出∠PAO為直角，得到∠PAD與∠DAO互余，再由AB為圓O的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，可得出∠ACB為直角，得到∠DAO與∠B互余，根據(jù)同角的余角相等可得出∠PAC=∠B，再由一對直角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得出三角形APD與三角形ABC相似；
（2）在直角三角形APD中，利用勾股定理求出PD的長，進而確定出AC的長，由第一問兩三角形相似得到的比例式，將各自的值代入求出AB的上，求出半徑AO的長，在直角三角形APO中，由AP及AO的長，利用勾股定理求出OP的長，用OP-OE即可求出PE的長．

解答：（1）證明：∵PA是⊙O的切線，AB是直徑，
∴∠PAO=90°，∠C=90°，
∴∠PAC+∠BAC=90°，∠B+∠BAC=90°，
∴∠PAC=∠B，
又∵OP⊥AC，
∴∠ADP=∠C=90°，
∴△PAD∽△ABC；

（2）解：∵∠PAO=90°，PA=10，AD=6，
∴PD=

PA2-AD2

=8，
∵OD⊥AC，
∴AD=DC=6，
∴AC=12，
∵△PAD∽△ABC，
∴

AP

AB

=

PD

AC

，
∴

10

AB

=

8

12

，
∴AB=15，
∴OE=

1

2

AB=

15

2

，
∵OP=

AO2+AP2

=

25

2

，
∴PE=OP-OE=

25

2

-

15

2

=5．

點評：此題考查了切線的性質，相似三角形的判定與性質，圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．