Question

已知AB為半圓的直徑，弦AD、BC相交于M，點(diǎn)E在AM上，且∠CEM=∠B，AB=1，則cos∠AMC的值等于線段（　　）的長(zhǎng)．

A．AB

B．CE

C．AM

D．CM

Answer 1

分析：連接BD，CD，利用同弧所對(duì)的圓周角相等得到∠B=∠ADC，再由已知的∠CEM=∠B，利用等量代換得到一對(duì)角相等，利用等角對(duì)等邊得到CE=CD，由AB為圓O的直徑，利用直徑所對(duì)的圓周角為直角得到∠ADB=90°，在直角三角形BDM中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出cos∠DMB，由對(duì)頂角相等得到cos∠DMB=cos∠AMC，再由∠B=∠ADC及一對(duì)對(duì)頂角相等，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似，得到三角形CMD與三角形ABM相似，由相似得比例，可得出CD：AB即為cos∠AMC的值，將AB=1，CD=CE代入即可得到其值為CE，得到正確的選項(xiàng)．

解答：解：連接BD，CD，如圖所示：
∵∠B和∠ADC都對(duì)

AC

，
∴∠B=∠ADC，又∠CEM=∠B，
∴∠CEM=∠ADC，
∴CE=CD，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ADB=90°，
在Rt△MBD中，cos∠DMB=

DM

BM

，
∵∠AMC=∠DMB，
∴cos∠AMC=cos∠DMB=

DM

BM

，
∵∠ADC=∠B，∠CMD=∠AMB，
∴△CMD∽△AMB，
∴

MD

MB

=

CD

AB

，又AB=1，
∴

MD

MB

=CD，又CD=CE，
則cos∠AMC=

MD

MB

=CE．
故選B

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，等腰三角形的判定，以及圓周角定理，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．