【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy(如圖)中,拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過點A(4,0)、B(2,2),與y軸的交點為C.
(1)試求這個拋物線的表達(dá)式;
(2)如果這個拋物線的頂點為M,求△AMC的面積;
(3)如果這個拋物線的對稱軸與直線BC交于點D,點E在線段AB上,且∠DOE=45°,求點E的坐標(biāo).
【答案】(1)y=;(2);(3)點E的坐標(biāo)為(3,1).
【解析】
(1)根據(jù)點A,B的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達(dá)式;
(2)利用配方法可求出點M的坐標(biāo),利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可求出點C的坐標(biāo),過點M作MH⊥y軸,垂足為點H,利用分割圖形求面積法可得出△AMC的面積;
(3)連接OB,過點B作BG⊥x軸,垂足為點G,則△BGA,△OCB是等腰直角三角形,進(jìn)而可得出∠BAO=∠DBO,由∠DOB+∠BOE=45°,∠BOE+∠EOA=45°可得出∠EOA=∠DOB,進(jìn)而可證出△AOE∽△BOD,利用相似三角形的性質(zhì)結(jié)合拋物線的對稱軸為直線x=1可求出AE的長,過點E作EF⊥x軸,垂足為點F,則△AEF為等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出AF、EF的長,進(jìn)而可得出點E的坐標(biāo).
解:(1)將A(4,0),B(2,2)代入y=ax2+bx+2,得:,
解得:,
∴拋物線的表達(dá)式為y=﹣x2+x+2.
(2)∵y=﹣x2+x+2=﹣(x﹣1)2+,
∴頂點M的坐標(biāo)為(1,).
當(dāng)x=0時,y=﹣x2+x+2=2,
∴點C的坐標(biāo)為(0,2).
過點M作MH⊥y軸,垂足為點H,如圖1所示.
∴S△AMC=S梯形AOHM﹣S△AOC﹣S△CHM,
=(HM+AO)OH﹣AOOC﹣CHMH,
=×(1+4)×﹣×4×2﹣×(﹣2)×1,
=.
(3)連接OB,過點B作BG⊥x軸,垂足為點G,如圖2所示.
∵點B的坐標(biāo)為(2,2),點A的坐標(biāo)為(4,0),
∴BG=2,GA=2,
∴△BGA是等腰直角三角形,
∴∠BAO=45°.
同理,可得:∠BOA=45°.
∵點C的坐標(biāo)為(2,0),
∴BC=2,OC=2,
∴△OCB是等腰直角三角形,
∴∠DBO=45°,BO=2,
∴∠BAO=∠DBO.
∵∠DOE=45°,
∴∠DOB+∠BOE=45°.
∵∠BOE+∠EOA=45°,
∴∠EOA=∠DOB,
∴△AOE∽△BOD,
∴.
∵拋物線y=﹣x2+x+2的對稱軸是直線x=1,
∴點D的坐標(biāo)為(1,2),
∴BD=1,
∴,
∴AE=,
過點E作EF⊥x軸,垂足為點F,則△AEF為等腰直角三角形,
∴EF=AF=1,
∴點E的坐標(biāo)為(3,1).
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【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,點F在BC邊上,過A,B,F三點的⊙O交AC于另一點D,作直徑AE,連結(jié)EF并延長交AC于點G,連結(jié)BE,BD,四邊形BDGE是平行四邊形.
(1)求證:AB=BF.
(2)當(dāng)F為BC的中點,且AC=3時,求⊙O的直徑長.
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【題目】已知二次函數(shù),完成下列各題:
(1)將函數(shù)關(guān)系式用配方法化為 y=a(x+h)2+k形式,并寫出它的頂點坐標(biāo)、對稱軸.
(2)若它的圖象與x軸交于A、B兩點,頂點為C,求△ABC的面積.
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【題目】如圖,四邊形ABCD的頂點在⊙O上,BD是⊙O的直徑,延長CD、BA交于點E,連接AC、BD交于點F,作AH⊥CE,垂足為點H,已知∠ADE=∠ACB.
(1)求證:AH是⊙O的切線;
(2)若OB=4,AC=6,求sin∠ACB的值;
(3)若,求證:CD=DH.
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【題目】(1)如圖1中,△ABC為正三角形,點E為AB邊上任一點,以CE為邊作正△DEC,連結(jié)AD.求的值.
(2)如圖2中,△ABC為等腰直角三角形,∠A=90°,點E為腰AB上任意一點,以CE為斜邊作等腰直角△CDE,連結(jié)AD.求的值;
(3)如圖3中,△ABC為任意等腰三角形,點E為腰AB上任意一點,以CE為底邊作等腰△DEC,使△DEC∽△ABC,并且BC=AC.連結(jié)AD,直接寫出的值.
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【題目】學(xué)習(xí)成為現(xiàn)代城市人的時尚,我市圖書館吸引了大批讀者,有關(guān)部門統(tǒng)計了2018年第四季度到市圖書館的讀者的職業(yè)分布情況,統(tǒng)計圖如圖.
(1)在統(tǒng)計的這段時間內(nèi),共有 萬人到圖書館閱讀.其中商人所占百分比是 ;
(2)將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整;
(3)若今年2月到圖書館的讀者共28000名,估計其中約有多少名職工.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸圍成的三角形,叫做此一次函數(shù)的坐標(biāo)三角形.例如,圖中的一次函數(shù)的圖象與x,y軸分別交于點A,B,則△OAB為此函數(shù)的坐標(biāo)三角形.
(1)求函數(shù)y=x+3的坐標(biāo)三角形的三條邊長;
(2)若函數(shù)y=x+b(b為常數(shù))的坐標(biāo)三角形周長為16,求此三角形面積.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y=ax2+bx+c(a>0)與x軸交于A(﹣1,0)、B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,拋物線的頂點為點D,對稱軸為直線x=1,交x軸于點E,tan∠BDE=.
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)若點P是對稱軸上一點,且∠DCP=∠BDE,求點P的坐標(biāo).
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【題目】如圖,C是以AB為直徑的半圓O上一點,連結(jié)AC,BC,分別以AC、BC為直徑作半圓,其中M,N分別是AC、BC為直徑作半圓弧的中點,,的中點分別是P,Q.若MP+NQ=7,AC+BC=26,則AB的長是( 。
A.17B.18C.19D.20
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