Question

已知拋物線y=ax²+bx+3在坐標(biāo)系中的位置如圖所示，它與x，y軸的交點(diǎn)分別為A，B，P是其對(duì)稱軸x=1上的動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)圖中提供的信息，給出以下結(jié)論：①2a+b=0，②x=3是ax²+bx+3=0的一個(gè)根，③△PAB周長的最小值是+3．其中正確的是（ ）

A．①②③
B．僅有①②
C．僅有①③
D．僅有②③

Answer 1

【答案】分析：①根據(jù)對(duì)稱軸方程求得a、b的數(shù)量關(guān)系；
②根據(jù)拋物線的對(duì)稱性知拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3；
③利用兩點(diǎn)間直線最短來求△PAB周長的最小值．
解答：解：①根據(jù)圖象知，對(duì)稱軸是直線x=-=1，則b=-2a，即2a+b=0．
故①正確；
②根據(jù)圖象知，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-1，0），對(duì)稱軸是x=1，則根據(jù)拋物線關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的性質(zhì)知，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，0），所以x=3是ax²+bx+3=0的一個(gè)根，故②正確；
③如圖所示，點(diǎn)A關(guān)于x=1對(duì)稱的點(diǎn)是A′，即拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)．
連接BA′與直線x=1的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，
則△PAB周長的最小值是（BA′+AB）的長度．
∵B（0，3），A′（3，0），
∴BA′=3．即△PAB周長的最小值是3+．
故③正確．
綜上所述，正確的結(jié)論是：①②③．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間直線最短．解答該題時(shí)，充分利用了拋物線的對(duì)稱性．