Question

5．如圖，已知二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象交x軸于點(diǎn)A（-4，0）和點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C（0，4）．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)P在第二象限內(nèi)的拋物線上，求四邊形AOCP面積的最大值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，是否存在點(diǎn)Q，使A，B，C，Q四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，
（2）先判斷出四邊形AOCP面積的最大值時(shí)，點(diǎn)P的位置，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再用面積差，求出四邊形AOCP面積的最大值為16，
（3）①當(dāng)AB平行四邊形的邊時(shí)，CQ∥AB，CQ=AB，求出AB，從而得到CQ，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，
②當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，CQ必過AB中點(diǎn)，且被AB平分，先求出CQ解析式，利用對(duì)角線互相平分求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象交x軸于點(diǎn)A（-4，0）和點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C（0，4）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=-16-4b+c}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x²-3x+4，
（2）如圖1，

由（1）有，二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x²-3x+4，
令y=0，得x=-4，或x=1，
∴B（1，0）
連接AC，PA，PC，
∴點(diǎn)P是直線AC平移之后和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P到直線AC的距離最大，所以S_△PAC最大，即：S_{四邊形AOCP}最大；
∵A（-4，0），C（0，4），
∴直線AC解析式為y=x+4，
設(shè)直線AC平移后的直線解析式為y=x+4+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}-3x+4}\\{y=x+4+b}\end{array}\right.$，
∴x²+4x+b=0，
∴△=16-4b=0，
∴b=4，
∴點(diǎn)P（-2，6），
過點(diǎn)P作PD⊥y軸
∴PD=2，OD=4，
∵A（-4，0），C（0，4）
∴OA=4，OC=4，
∴CD=2，
∴S_{四邊形AOCP}=S_梯形AODP-S_△PCD=$\frac{1}{2}$（PD+OA）×OD-$\frac{1}{2}$PD×CD=$\frac{1}{2}$（2+4）×6-$\frac{1}{2}$×2×2=16．
（3）存在點(diǎn)Q，使A，B，C，Q四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，
理由：①以AB為邊時(shí)，CQ∥AB，CQ=AB
過點(diǎn)C，平行于AB的直線l，
∵C（0，4），
∴直線l解析式為y=4，
∴點(diǎn)Q在直線l上，
設(shè)Q（d，4），
∴CQ=|d|
∵A（-4，0），B（1，0），
∴AB=5，
∴|d|=5，
∴d=±5，
∴Q（-5，4）或（5，4），
②以AB為對(duì)角線時(shí)，CQ必過線段AB中點(diǎn)，且被AB平分，即：AB的中點(diǎn)也是CQ的中點(diǎn)，
∵A（-4，0），B（1，0），
∴線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}$，0），
∵C（0，4），
∴直線CQ解析式為y=$\frac{8}{3}$x+4，
設(shè)點(diǎn)Q（m，$\frac{8}{3}$m+4），
∴$\sqrt{（m+\frac{3}{2}）^{2}+（\frac{8}{3}m+4）^{2}}$=$\sqrt{（-\frac{3}{2}）^{2}+16}$，
∴m=0（舍）或m=-3，
∴Q（-3，-4），
即：滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q（-5，4）或（5，4）或（-3，-4）．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，三角形面積的計(jì)算，平行四邊形的性質(zhì)，極值的確定，中點(diǎn)坐標(biāo)，解本題的關(guān)鍵是確定出拋物線解析式，難點(diǎn)是分類討論和點(diǎn)P的位置和坐標(biāo)的確定．