【題目】如圖,菱形ABCD中,AB10,連接BD,點(diǎn)P是射線BC上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B重合),AP與對(duì)角線BD交于點(diǎn)E,連接EC

1)求證:AECE

2)若sinABD,當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí),若BP4,求△PEC的面積;

3)若∠ABC45°,當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長線上時(shí),請(qǐng)直接寫出△PEC是等腰三角形時(shí)BP的長.

【答案】1)詳見解析;(2;(3)△PEC是等腰三角形時(shí)BP的長為10

【解析】

(1)由菱形的性質(zhì)得出∠ABE=CBE,AB=BC,由SAS證得△ABE≌△CBE,即可得出結(jié)論;
(2)連接AC,交BDO,證明△BEP∽△DEA,則,求出OA=2BD=8,,,SDEA,SABE=SBEC,SBEP=,即可得出答案;

(3) ①當(dāng)CE=CP時(shí),得出△PEC是等腰直角三角形,過點(diǎn)EEFABBCF,證出EF=BF,推出CF+CF=BC=10,求出CF的長,即可得出答案;
②當(dāng)CE=CP時(shí),求得∠CPE=30°,∠BAE=BCE=105°,過點(diǎn)AANBPN,則△ABN是等腰直角三角形,得出AN=BN=AB=5,求出PN=5,即可得出答案.

(1)∵四邊形ABCD是菱形,

∴∠ABE=∠CBEAB=BC,

在△ABE和△CBE中,

∴△ABE≌△CBE(SAS),

AE=CE;

(2)連接AC,交BDO,如圖1所示:

∵四邊形ABCD是菱形,

ADBC,AD=AB=10,∠AOB=90°,OB=OD,OA=OC,

∴△BEP∽△DEA

,

,

sinABD=,

OA=2,

,

BD=2OB=8

,

解得:,

,

SDEA=OADE=×2×,

SABE=OABE=×2×SBEC,

SBEP=SDEA=×=,

SPEC=SBECSBEP==;

(3)①當(dāng)CE=CP時(shí),

∴∠CPE=CEP

(1)得:△ABE≌△CBE,

∴∠BAE=BCE

∴∠BAE=BCE=CPE+CEP=2CPE,

∵∠ABC+BAE+CPE=180°,∠ABC=45°,

45°+2CPE+CPE=180°,

解得:∠CPE=45°,∠BAE=BCE=90°,

∴∠ECP=90°,

∴△PEC是等腰直角三角形,

過點(diǎn)EEFABBCF,如圖所示:

∴∠EFP=ABC=45°,∠FEP=BAP=90°,∠BEF=ABE=EBC

∴∠FEC=FEP-CEP=90°-45°=45°,EF=BF

CE=CP=CF,EF=CF

CF+CF=BC=10,

CF=,

BP=BC+CP=BC+CF=10+=10;

②當(dāng)CE=CP時(shí),

∴∠PCE=CEP,

(1)得:△ABE≌△CBE,

∴∠AEB=CEB,

∴∠BAE=BCE=CPE+CEP=CPE+,

∵∠ABC+BAE+CPE=180°,∠ABC=45°,

45°+CPE++CPE=180°,

解得:∠CPE=30°,∠BAE=BCE=105°,

過點(diǎn)AANBPN,如圖3所示:

∵∠ABC=45°,

則△ABN是等腰直角三角形,

AN=BN=AB=5

∵∠APB=30°

tan30°=,即

PN=5,

BP=BN+PN=5+5

綜上所述,△PEC是等腰三角形時(shí)BP的長為10

練習(xí)冊系列答案
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結(jié)論1B′D∥AC;

結(jié)論2△AB′CABCD重疊部分的圖形是等腰三角形.

……

請(qǐng)利用圖1證明結(jié)論1或結(jié)論2(只需證明一個(gè)結(jié)論).

(應(yīng)用與探究)在ABCD中,已知∠B=30°,將△ABC沿AC翻折至△AB′C,連結(jié)B′D.

1)如圖1,若,則∠ACB= °,BC= ;

2)如圖2,BC=1AB′與邊CD相交于點(diǎn)E,求△AEC的面積;

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2)打開門后,門角上的點(diǎn)B在地面掃過的痕跡為弧BB',設(shè)弧BB'與兩墻角線圍成區(qū)域(如圖2)的面積為Sm2),求S的值(π≈3.14,≈1.73,精確到0.1).

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當(dāng)AB<AD時(shí),至少存在一個(gè)點(diǎn)E,使得是四邊形BEDF是菱形;

當(dāng)∠ADB=45°時(shí),至少存在一個(gè)點(diǎn)E,使得是四邊形BEDF是正方形.

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